Номер 1, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 31. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 216.

Условие.

1. Какое уравнение называют биквадратным? Привести пример биквадратного уравнения.

Решение 4.

Какое уравнение называют биквадратным?

Биквадратным уравнением называют уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

По сути, это уравнение является полиномом четвертой степени, но с отсутствующими членами с нечетными степенями ($x^3$ и $x^1$). Его ключевая особенность заключается в том, что оно сводится к квадратному уравнению путем введения новой переменной. Если сделать замену $t = x^2$ (при этом необходимо учесть, что $t \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен), то исходное уравнение примет вид стандартного квадратного уравнения относительно переменной $t$: $at^2 + bt + c = 0$.

После нахождения корней этого квадратного уравнения ($t_1$ и $t_2$), возвращаются к первоначальной переменной $x$, решая уравнения $x^2 = t_1$ и $x^2 = t_2$ для всех найденных неотрицательных значений $t$.

Ответ: Биквадратным называют уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$.

Привести пример биквадратного уравнения.

В качестве примера можно привести следующее уравнение:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

В данном уравнении коэффициенты имеют следующие значения: $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

Еще один возможный пример:

$3x^4 + 2x^2 - 1 = 0$

Здесь $a=3$, $b=2$, $c=-1$.

Ответ: Пример биквадратного уравнения: $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$.