Номер 529, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 529, страница 211.

Условие.

529. Упростить:

1) $ \frac{1}{x^2 - 7x + 12} + \frac{1}{x - 3}; $

2) $ \frac{3}{x^2 + 6x + 9} - \frac{1}{x + 3}; $

3) $ \frac{7}{5x^2 + 3x - 2} - \frac{5}{5x - 2}; $

4) $ \frac{5x + 1}{x^2 + 9x - 10} : \frac{5x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)Чтобы упростить выражение $ \frac{1}{x^2 - 7x + 12} + \frac{1}{x-3} $, сначала разложим на множители знаменатель первой дроби.
Квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 12$ можно разложить, найдя корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 3 и 4.
Следовательно, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{(x-3)(x-4)} + \frac{1}{x-3} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x-4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-4)$:
$ \frac{1}{(x-3)(x-4)} + \frac{1 \cdot (x-4)}{(x-3)(x-4)} = \frac{1 + (x-4)}{(x-3)(x-4)} $
Упростим числитель:
$ \frac{1 + x - 4}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-3}{(x-3)(x-4)} $
Сократим дробь на общий множитель $(x-3)$:
$ \frac{1}{x-4} $
Ответ: $ \frac{1}{x-4} $.

2)Чтобы упростить выражение $ \frac{3}{x^2 + 6x + 9} - \frac{1}{x+3} $, заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом.
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Подставим это в выражение:
$ \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{1}{x+3} $
Общим знаменателем является $(x+3)^2$. Домножим вторую дробь на $(x+3)$:
$ \frac{3}{(x+3)^2} - \frac{1 \cdot (x+3)}{(x+3)^2} = \frac{3 - (x+3)}{(x+3)^2} $
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$ \frac{3 - x - 3}{(x+3)^2} = \frac{-x}{(x+3)^2} $
Ответ: $ -\frac{x}{(x+3)^2} $.

3)Чтобы упростить выражение $ \frac{7}{5x^2 + 3x - 2} - \frac{5}{5x-2} $, разложим на множители знаменатель первой дроби.
Найдем корни квадратного уравнения $5x^2 + 3x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$5x^2 + 3x - 2 = 5(x - (-1))(x - \frac{2}{5}) = 5(x+1)(x - \frac{2}{5}) = (x+1)(5x-2)$.
Выражение принимает вид:
$ \frac{7}{(x+1)(5x-2)} - \frac{5}{5x-2} $
Общий знаменатель — $(x+1)(5x-2)$. Домножим вторую дробь на $(x+1)$:
$ \frac{7}{(x+1)(5x-2)} - \frac{5(x+1)}{(x+1)(5x-2)} = \frac{7 - 5(x+1)}{(x+1)(5x-2)} $
Упростим числитель:
$ \frac{7 - 5x - 5}{(x+1)(5x-2)} = \frac{2 - 5x}{(x+1)(5x-2)} $
Вынесем в числителе знак минус за скобку: $2-5x = -(5x-2)$.
$ \frac{-(5x-2)}{(x+1)(5x-2)} $
Сократим дробь на $(5x-2)$:
$ \frac{-1}{x+1} $
Ответ: $ -\frac{1}{x+1} $.

4)Упростим выражение $ \frac{5x+1}{x^2+9x-10} \cdot \frac{5x^2+x}{x^2-2x+1} $. (Примечание: в условии задачи знак может быть похож на деление, но стандартно `·` означает умножение. Если бы это было деление, ответ был бы другим).
Разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях.
1. $x^2+9x-10$: по теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = -10$. Разложение: $(x-1)(x+10)$.
2. $5x^2+x$: выносим общий множитель $x$. Разложение: $x(5x+1)$.
3. $x^2-2x+1$: формула квадрата разности. Разложение: $(x-1)^2$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{5x+1}{(x-1)(x+10)} \cdot \frac{x(5x+1)}{(x-1)^2} $
Перемножим числители и знаменатели:
$ \frac{(5x+1) \cdot x(5x+1)}{(x-1)(x+10) \cdot (x-1)^2} = \frac{x(5x+1)^2}{(x+10)(x-1)^3} $
В данном выражении дальнейшие сокращения невозможны.
Альтернативное решение (если в условии деление):
$ \frac{5x+1}{x^2+9x-10} : \frac{5x^2+x}{x^2-2x+1} = \frac{5x+1}{(x-1)(x+10)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x(5x+1)} $
Сокращаем общие множители $(5x+1)$ и $(x-1)$:
$ \frac{\cancel{5x+1}}{\cancel{(x-1)}(x+10)} \cdot \frac{(x-1)^{\cancel{2}}}{x(\cancel{5x+1})} = \frac{x-1}{x(x+10)} $
Этот результат выглядит более простым, что часто ожидается в подобных задачах. Исходя из контекста школьных заданий, скорее всего, предполагалось деление.
Ответ: $ \frac{x-1}{x(x+10)} $ (в случае деления).