Номер 527, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 527, страница 211.

Условие.

527. Разложить на множители:

1) $x^3 - 3x^2 + 2x$;

2) $x^3 + 4x^2 - 21x$;

3) $x^3 + 5x^2 - 24x$;

4) $x^3 - 9x^2 - 22x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для разложения на множители выражения $x^3 - 3x^2 + 2x$ первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3x + 2)$
Теперь необходимо разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант. В данном случае коэффициенты: $a=1, b=-3, c=2$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$
Зная корни, мы можем разложить квадратный трехчлен по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$x^2 - 3x + 2 = 1 \cdot (x - 2)(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
Теперь подставим полученное разложение в исходное выражение:
$x(x - 1)(x - 2)$.
Ответ: $x(x - 1)(x - 2)$

2) Разложим на множители выражение $x^3 + 4x^2 - 21x$.
Сначала вынесем общий множитель $x$:
$x(x^2 + 4x - 21)$
Далее разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 4x - 21$. Для этого решим уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=-21$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$
Разложение квадратного трехчлена:
$x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x - (-7)) = (x - 3)(x + 7)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x - 3)(x + 7)$.
Ответ: $x(x - 3)(x + 7)$

3) Разложим на множители выражение $x^3 + 5x^2 - 24x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 5x - 24)$
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 + 5x - 24$, найдя корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=5, c=-24$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 11}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 11}{2} = -8$
Разложение квадратного трехчлена:
$x^2 + 5x - 24 = (x - 3)(x - (-8)) = (x - 3)(x + 8)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x - 3)(x + 8)$.
Ответ: $x(x - 3)(x + 8)$

4) Разложим на множители выражение $x^3 - 9x^2 - 22x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 9x - 22)$
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 - 9x - 22$, найдя корни уравнения $x^2 - 9x - 22 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-9, c=-22$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 13}{2} = 11$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 13}{2} = -2$
Разложение квадратного трехчлена:
$x^2 - 9x - 22 = (x - 11)(x - (-2)) = (x - 11)(x + 2)$.
Полное разложение исходного выражения:
$x(x - 11)(x + 2)$.
Ответ: $x(x - 11)(x + 2)$