Номер 521, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 521, страница 210.

Условие.

521. (Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней:

1) $x^2+4x-5=0$;

2) $x^2+5x+3=0$;

3) $x^2-5x+3=0$;

4) $x^2-8x-7=0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для определения знаков корней уравнений, не решая их, воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Знак произведения корней $q$ позволяет определить, одинаковые или разные знаки у корней. Если произведение $q>0$, то корни имеют одинаковые знаки. Если $q<0$, то знаки у корней разные. Если знаки одинаковые, то их можно определить по знаку суммы корней ($-p$).

1) Рассмотрим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициент $q = -5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -5$.
Так как произведение корней — отрицательное число ($q<0$), то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Ответ: корни имеют разные знаки.

2) Рассмотрим уравнение $x^2 + 5x + 3 = 0$.
Здесь $p = 5$ и $q = 3$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3$. Так как $q>0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Так как сумма корней — отрицательное число, а знаки у них одинаковые, то оба корня отрицательные.
Ответ: оба корня отрицательные.

3) Рассмотрим уравнение $x^2 - 5x + 3 = 0$.
Здесь $p = -5$ и $q = 3$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3$. Так как $q>0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Так как сумма корней — положительное число, а знаки у них одинаковые, то оба корня положительные.
Ответ: оба корня положительные.

4) Рассмотрим уравнение $x^2 - 8x - 7 = 0$.
Здесь коэффициент $q = -7$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -7$.
Так как произведение корней — отрицательное число ($q<0$), то корни имеют разные знаки.
Ответ: корни имеют разные знаки.