Номер 517, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 517, страница 210.

Условие.

517. Решить приведённое квадратное уравнение:

1) $x^2 + 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 - 6x - 7 = 0;$

3) $x^2 - 8x - 9 = 0;$

4) $x^2 + 6x - 40 = 0;$

5) $x^2 + x - 6 = 0;$

6) $x^2 - x - 2 = 0.$

Решение 4.

Для решения приведённых квадратных уравнений вида $x^2 + px + q = 0$ удобно использовать теорему Виета. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна второму коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену $q$.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$

1) $x^2 + 4x - 5 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 4$, $q = -5$. Ищем два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно -5.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases}$

Методом подбора находим, что этими числами являются 1 и -5.

Проверка: $1 + (-5) = -4$ и $1 \cdot (-5) = -5$. Корни найдены верно.

Ответ: -5; 1.

2) $x^2 - 6x - 7 = 0$

Здесь $p = -6$, $q = -7$. Ищем два числа, сумма которых равна $-(-6)=6$, а произведение равно -7.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 \cdot x_2 = -7 \end{cases}$

Этими числами являются 7 и -1.

Проверка: $7 + (-1) = 6$ и $7 \cdot (-1) = -7$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 7.

3) $x^2 - 8x - 9 = 0$

Здесь $p = -8$, $q = -9$. Ищем два числа, сумма которых равна $-(-8)=8$, а произведение равно -9.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = -9 \end{cases}$

Этими числами являются 9 и -1.

Проверка: $9 + (-1) = 8$ и $9 \cdot (-1) = -9$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 9.

4) $x^2 + 6x - 40 = 0$

Здесь $p = 6$, $q = -40$. Ищем два числа, сумма которых равна -6, а произведение равно -40.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -6 \\ x_1 \cdot x_2 = -40 \end{cases}$

Этими числами являются -10 и 4.

Проверка: $-10 + 4 = -6$ и $-10 \cdot 4 = -40$. Корни найдены верно.

Ответ: -10; 4.

5) $x^2 + x - 6 = 0$

Здесь $p = 1$, $q = -6$. Ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -6.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}$

Этими числами являются -3 и 2.

Проверка: $-3 + 2 = -1$ и $-3 \cdot 2 = -6$. Корни найдены верно.

Ответ: -3; 2.

6) $x^2 - x - 2 = 0$

Здесь $p = -1$, $q = -2$. Ищем два числа, сумма которых равна $-(-1)=1$, а произведение равно -2.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases}$

Этими числами являются 2 и -1.

Проверка: $2 + (-1) = 1$ и $2 \cdot (-1) = -2$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 2.