Номер 1, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 209.

Условие.

1. Решить уравнение:

1) $x^2 - 0,09 = 0;$

2) $x^2 + \frac{1}{3}x = 0;$

3) $x^2 + 4x + 4 = 0;$

4) $(x+2)^2 - 4 = 0.$

Решение 4.

1) Решим уравнение $x^2 - 0,09 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, перенеся свободный член в правую часть и извлекая квадратный корень.

Перенесем $-0,09$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^2 = 0,09$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{0,09}$

$x_1 = 0,3$

$x_2 = -0,3$

Ответ: $x_1 = 0,3; x_2 = -0,3$.

2) Решим уравнение $x^2 + \frac{1}{3}x = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член ($c=0$). Такие уравнения решаются вынесением общего множителя за скобки.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + \frac{1}{3}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$x + \frac{1}{3} = 0$

$x_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -\frac{1}{3}$.

3) Решим уравнение $x^2 + 4x + 4 = 0$.

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Вспомним формулу сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Формула верна.

Свернем левую часть уравнения по формуле:

$(x+2)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю:

$x+2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

4) Решим уравнение $(x+2)^2 - 4 = 0$.

Это уравнение можно решить несколькими способами. Один из самых простых — перенести константу в правую часть и извлечь корень.

Перенесем $-4$ в правую часть:

$(x+2)^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x+2 = \pm\sqrt{4}$

$x+2 = \pm2$

Это приводит к двум линейным уравнениям:

Первый случай:

$x+2 = 2$

$x_1 = 2 - 2 = 0$

Второй случай:

$x+2 = -2$

$x_2 = -2 - 2 = -4$

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -4$.