Номер 5, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 210.

Условие.

5. Найти произведение корней уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ и сравнить его со свободным членом уравнения.

Решение 4.

Данная задача состоит из двух частей: нахождения произведения корней уравнения и его сравнения со свободным членом.

Найти произведение корней уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$

Для нахождения произведения корней можно использовать два способа.

Способ 1: Использование теоремы Виета.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ гласит, что произведение его корней ($x_1$ и $x_2$) равно свободному члену $q$.

В нашем уравнении $x^2 - 5x - 6 = 0$ коэффициент $p = -5$, а свободный член $q = -6$.

Следовательно, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -6$.

Способ 2: Нахождение корней через дискриминант.

Сначала найдем корни уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-5, c=-6$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь найдем произведение этих корней:

$x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot (-1) = -6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: произведение корней уравнения равно $-6$.

Сравнить его со свободным членом уравнения

Свободный член в уравнении $x^2 - 5x - 6 = 0$ — это константа, не имеющая множителя $x$, то есть число $-6$.

Произведение корней, как мы установили в предыдущем пункте, также равно $-6$.

Сравнивая эти два значения, мы видим, что они равны: $-6 = -6$.

Ответ: произведение корней уравнения равно его свободному члену.