Страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Найти сумму и произведение выражений:

1) $x+\sqrt{x^2-y}$ и $x-\sqrt{x^2-y}$;

2) $-x+\sqrt{y+x^2}$ и $-x-\sqrt{y+x^2}$.

1) Даны выражения: $x + \sqrt{x^2 - y}$ и $x - \sqrt{x^2 - y}$.

Найдем их сумму, сложив оба выражения:

$(x + \sqrt{x^2 - y}) + (x - \sqrt{x^2 - y}) = x + \sqrt{x^2 - y} + x - \sqrt{x^2 - y}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + x) + (\sqrt{x^2 - y} - \sqrt{x^2 - y}) = 2x + 0 = 2x$

Найдем их произведение. Эти выражения являются сопряженными, поэтому для их умножения удобно использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=\sqrt{x^2-y}$:

$(x + \sqrt{x^2 - y})(x - \sqrt{x^2 - y}) = x^2 - (\sqrt{x^2-y})^2 = x^2 - (x^2 - y) = x^2 - x^2 + y = y$

Ответ: Сумма равна $2x$, произведение равно $y$.

2) Даны выражения: $-x + \sqrt{y + x^2}$ и $-x - \sqrt{y + x^2}$.

Найдем их сумму:

$(-x + \sqrt{y + x^2}) + (-x - \sqrt{y + x^2}) = -x + \sqrt{y + x^2} - x - \sqrt{y + x^2}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-x - x) + (\sqrt{y + x^2} - \sqrt{y + x^2}) = -2x + 0 = -2x$

Найдем их произведение. Снова используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В этом случае можно представить выражения как $( \sqrt{y + x^2} - x)$ и $(- \sqrt{y + x^2} - x)$, что не подходит. Правильнее сгруппировать так: $a=-x$ и $b=\sqrt{y+x^2}$.

$((-x) + \sqrt{y + x^2})((-x) - \sqrt{y + x^2}) = (-x)^2 - (\sqrt{y+x^2})^2 = x^2 - (y + x^2) = x^2 - y - x^2 = -y$

Ответ: Сумма равна $-2x$, произведение равно $-y$.

4. Сократить дробь:

1) $\frac{(2x + 1)(x + 3)}{(3 + x)2x}$

2) $\frac{(1 - 3x)(x + 2)}{(x - 3)(3x - 1)}$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{(2x+1)(x+3)}{(3+x)2x}$, необходимо найти одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Заметим, что в числителе есть множитель $(x+3)$, а в знаменателе — множитель $(3+x)$. Согласно переместительному свойству сложения, эти выражения равны: $x+3 = 3+x$.

Следовательно, мы можем сократить дробь на этот общий множитель. Сокращение возможно при условии, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Выполним сокращение:

$\frac{(2x+1)(x+3)}{(3+x)2x} = \frac{(2x+1)\cancel{(x+3)}}{\cancel{(3+x)}2x} = \frac{2x+1}{2x}$

Ответ: $\frac{2x+1}{2x}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{(1-3x)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}$.

Чтобы найти общие множители, обратим внимание на выражения $(1-3x)$ в числителе и $(3x-1)$ в знаменателе. Эти выражения противоположны друг другу. Мы можем вынести знак минус за скобки в одном из них, чтобы сделать их одинаковыми.

Преобразуем множитель в числителе: $1-3x = -(-1+3x) = -(3x-1)$.

Теперь подставим преобразованное выражение обратно в дробь:

$\frac{-(3x-1)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}$

Теперь в числителе и знаменателе есть общий множитель $(3x-1)$, на который мы можем сократить. Сокращение возможно при условии, что $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$.

$\frac{-\cancel{(3x-1)}(x+2)}{(x-3)\cancel{(3x-1)}} = \frac{-(x+2)}{x-3} = -\frac{x+2}{x-3}$

Ответ: $-\frac{x+2}{x-3}$

5. Найти произведение корней уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ и сравнить его со свободным членом уравнения.

Данная задача состоит из двух частей: нахождения произведения корней уравнения и его сравнения со свободным членом.

Найти произведение корней уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$

Для нахождения произведения корней можно использовать два способа.

Способ 1: Использование теоремы Виета.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ гласит, что произведение его корней ($x_1$ и $x_2$) равно свободному члену $q$.

В нашем уравнении $x^2 - 5x - 6 = 0$ коэффициент $p = -5$, а свободный член $q = -6$.

Следовательно, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -6$.

Способ 2: Нахождение корней через дискриминант.

Сначала найдем корни уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-5, c=-6$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь найдем произведение этих корней:

$x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot (-1) = -6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: произведение корней уравнения равно $-6$.

Сравнить его со свободным членом уравнения

Свободный член в уравнении $x^2 - 5x - 6 = 0$ — это константа, не имеющая множителя $x$, то есть число $-6$.

Произведение корней, как мы установили в предыдущем пункте, также равно $-6$.

Сравнивая эти два значения, мы видим, что они равны: $-6 = -6$.

Ответ: произведение корней уравнения равно его свободному члену.

6. Найти сумму корней уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ и сравнить её со вторым коэффициентом уравнения.

Дано квадратное уравнение: $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$ (первый коэффициент),
$b = -5$ (второй коэффициент),
$c = -6$ (свободный член).

Найдите сумму корней уравнения

Для нахождения суммы корней квадратного уравнения удобнее всего использовать теорему Виета. Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1$ и $x_2$) уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-b/a$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$

Таким образом, сумма корней уравнения равна 5.

Сравнить её со вторым коэффициентом уравнения

Мы получили, что сумма корней равна 5.

Второй коэффициент уравнения, как мы определили ранее, это $b = -5$.

Теперь сравним полученную сумму корней (5) и второй коэффициент (-5). Эти числа являются противоположными друг другу, так как их сумма равна нулю ($5 + (-5) = 0$), и можно записать, что $5 = -(-5)$.

Ответ: Сумма корней уравнения равна 5. Сумма корней является числом, противоположным второму коэффициенту уравнения, который равен -5.

517. Решить приведённое квадратное уравнение:

1) $x^2 + 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 - 6x - 7 = 0;$

3) $x^2 - 8x - 9 = 0;$

4) $x^2 + 6x - 40 = 0;$

5) $x^2 + x - 6 = 0;$

6) $x^2 - x - 2 = 0.$

Для решения приведённых квадратных уравнений вида $x^2 + px + q = 0$ удобно использовать теорему Виета. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна второму коэффициенту $p$ с противоположным знаком, а произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену $q$.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$

1) $x^2 + 4x - 5 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 4$, $q = -5$. Ищем два числа, сумма которых равна -4, а произведение равно -5.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases}$

Методом подбора находим, что этими числами являются 1 и -5.

Проверка: $1 + (-5) = -4$ и $1 \cdot (-5) = -5$. Корни найдены верно.

Ответ: -5; 1.

2) $x^2 - 6x - 7 = 0$

Здесь $p = -6$, $q = -7$. Ищем два числа, сумма которых равна $-(-6)=6$, а произведение равно -7.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 6 \\ x_1 \cdot x_2 = -7 \end{cases}$

Этими числами являются 7 и -1.

Проверка: $7 + (-1) = 6$ и $7 \cdot (-1) = -7$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 7.

3) $x^2 - 8x - 9 = 0$

Здесь $p = -8$, $q = -9$. Ищем два числа, сумма которых равна $-(-8)=8$, а произведение равно -9.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = -9 \end{cases}$

Этими числами являются 9 и -1.

Проверка: $9 + (-1) = 8$ и $9 \cdot (-1) = -9$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 9.

4) $x^2 + 6x - 40 = 0$

Здесь $p = 6$, $q = -40$. Ищем два числа, сумма которых равна -6, а произведение равно -40.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -6 \\ x_1 \cdot x_2 = -40 \end{cases}$

Этими числами являются -10 и 4.

Проверка: $-10 + 4 = -6$ и $-10 \cdot 4 = -40$. Корни найдены верно.

Ответ: -10; 4.

5) $x^2 + x - 6 = 0$

Здесь $p = 1$, $q = -6$. Ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -6.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}$

Этими числами являются -3 и 2.

Проверка: $-3 + 2 = -1$ и $-3 \cdot 2 = -6$. Корни найдены верно.

Ответ: -3; 2.

6) $x^2 - x - 2 = 0$

Здесь $p = -1$, $q = -2$. Ищем два числа, сумма которых равна $-(-1)=1$, а произведение равно -2.

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases}$

Этими числами являются 2 и -1.

Проверка: $2 + (-1) = 1$ и $2 \cdot (-1) = -2$. Корни найдены верно.

Ответ: -1; 2.

518. (Устно.) Найти сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения, имеющего корни:

1) $x^2 - x - 2 = 0$;

2) $x^2 - 5x - 6 = 0$;

3) $x^2 + 3x + 2 = 0$;

4) $x^2 + 3x - 4 = 0$;

5) $x^2 - 7x + 5 = 0$;

6) $x^2 + 9x - 6 = 0$.

Для решения этой задачи используется теорема Виета для приведённого квадратного уравнения. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применим эту теорему для каждого из заданных уравнений.

1) $x^2 - x - 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = -1$ и $q = -2$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(-1) = 1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -2$.

Ответ: сумма корней 1, произведение корней -2.

2) $x^2 - 5x - 6 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = -5$ и $q = -6$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -6$.

Ответ: сумма корней 5, произведение корней -6.

3) $x^2 + 3x + 2 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 3$ и $q = 2$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -3$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 2$.

Ответ: сумма корней -3, произведение корней 2.

4) $x^2 + 3x - 4 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 3$ и $q = -4$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -3$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -4$.

Ответ: сумма корней -3, произведение корней -4.

5) $x^2 - 7x + 5 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = -7$ и $q = 5$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = 5$.

Ответ: сумма корней 7, произведение корней 5.

6) $x^2 + 9x - 6 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 9$ и $q = -6$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -9$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -6$.

Ответ: сумма корней -9, произведение корней -6.

519. (Устно.) Один из корней уравнения $x^2 - 19x + 18 = 0$ равен 1.

Найти его второй корень.

Для нахождения второго корня квадратного уравнения $x^2 - 19x + 18 = 0$, зная, что один из корней равен 1, можно воспользоваться теоремой Виета или свойством коэффициентов квадратного уравнения.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$ и $x_2$ и коэффициентами:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 19x + 18 = 0$ коэффициенты равны $p = -19$ и $q = 18$.

Воспользуемся формулой для произведения корней. Обозначим известный корень как $x_1 = 1$, а неизвестный — как $x_2$.
$x_1 \cdot x_2 = 18$

Подставим известное значение $x_1 = 1$ в это равенство:
$1 \cdot x_2 = 18$

Отсюда находим второй корень:
$x_2 = 18$

Для проверки можно использовать формулу для суммы корней:
$x_1 + x_2 = -p = -(-19) = 19$.
Подставив найденные корни $1 + 18 = 19$, мы получаем верное равенство $19 = 19$, что подтверждает правильность решения.

Способ 2: Использование свойства коэффициентов

Этот способ особенно удобен для устного решения, на что указывает пометка "(Устно)" в условии. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ существует свойство: если сумма его коэффициентов равна нулю ($a + b + c = 0$), то один из корней уравнения равен 1, а второй равен $c/a$.

Проверим это свойство для нашего уравнения $x^2 - 19x + 18 = 0$.
Коэффициенты здесь: $a = 1$, $b = -19$, $c = 18$.

Найдем сумму коэффициентов:
$a + b + c = 1 + (-19) + 18 = 1 - 19 + 18 = 0$.

Поскольку сумма коэффициентов равна нулю, то один из корней действительно равен 1 (что соответствует условию задачи), а второй корень можно найти по формуле:
$x_2 = c/a = 18/1 = 18$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 18

520. (Устно.) Один из корней уравнения $28x^2 + 23x - 5 = 0$ равен $-1$.

Найти его второй корень.

Дано квадратное уравнение $28x^2 + 23x - 5 = 0$. По условию задачи, один из его корней, обозначим его $x_1$, равен $-1$. Нам необходимо найти второй корень, $x_2$.

Для решения этой задачи наиболее удобным способом является использование теоремы Виета. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает связь между его корнями ($x_1$, $x_2$) и коэффициентами ($a$, $b$, $c$):

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $28x^2 + 23x - 5 = 0$ коэффициенты следующие: $a = 28$, $b = 23$, $c = -5$.

Воспользуемся формулой для произведения корней, так как она позволяет сразу найти $x_2$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим известные значения: $x_1 = -1$, $a = 28$ и $c = -5$.

$(-1) \cdot x_2 = \frac{-5}{28}$

$-x_2 = -\frac{5}{28}$

Чтобы найти $x_2$, умножим обе части уравнения на $-1$:

$x_2 = \frac{5}{28}$

Таким образом, второй корень уравнения равен $\frac{5}{28}$.

Проверка:
Для уверенности в результате, можно выполнить проверку, используя формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -1 + \frac{5}{28} = -\frac{28}{28} + \frac{5}{28} = -\frac{23}{28}$

Теперь сравним это с тем, что дает формула по теореме Виета:

$-\frac{b}{a} = -\frac{23}{28}$

Так как результаты совпали ($-\frac{23}{28} = -\frac{23}{28}$), найденный второй корень является верным.

Ответ: $\frac{5}{28}$

521. (Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней:

1) $x^2+4x-5=0$;

2) $x^2+5x+3=0$;

3) $x^2-5x+3=0$;

4) $x^2-8x-7=0$.

Для определения знаков корней уравнений, не решая их, воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$
• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Знак произведения корней $q$ позволяет определить, одинаковые или разные знаки у корней. Если произведение $q>0$, то корни имеют одинаковые знаки. Если $q<0$, то знаки у корней разные. Если знаки одинаковые, то их можно определить по знаку суммы корней ($-p$).

1) Рассмотрим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициент $q = -5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -5$.
Так как произведение корней — отрицательное число ($q<0$), то корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный).
Ответ: корни имеют разные знаки.

2) Рассмотрим уравнение $x^2 + 5x + 3 = 0$.
Здесь $p = 5$ и $q = 3$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3$. Так как $q>0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -5$. Так как сумма корней — отрицательное число, а знаки у них одинаковые, то оба корня отрицательные.
Ответ: оба корня отрицательные.

3) Рассмотрим уравнение $x^2 - 5x + 3 = 0$.
Здесь $p = -5$ и $q = 3$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3$. Так как $q>0$, корни имеют одинаковые знаки.
Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$. Так как сумма корней — положительное число, а знаки у них одинаковые, то оба корня положительные.
Ответ: оба корня положительные.

4) Рассмотрим уравнение $x^2 - 8x - 7 = 0$.
Здесь коэффициент $q = -7$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -7$.
Так как произведение корней — отрицательное число ($q<0$), то корни имеют разные знаки.
Ответ: корни имеют разные знаки.

522. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $x_1$ и $x_2$:

1) $x_1 = 3, x_2 = -1;$

2) $x_1 = 2, x_2 = 3;$

3) $x_1 = -4, x_2 = -5;$

4) $x_1 = -3, x_2 = 6.$

Для составления приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, коэффициенты уравнения связаны с корнями следующими соотношениями:
Сумма корней равна второму коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
Произведение корней равно свободному члену $q$: $x_1 \cdot x_2 = q$.
Таким образом, зная корни, можно найти коэффициенты $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 \cdot x_2$ и подставить их в уравнение. Уравнение можно записать в виде: $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

1) Даны корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = 3 + (-1) = 2$
$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$
Подставим эти значения в формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:
$x^2 - (2)x + (-3) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

2) Даны корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (5)x + (6) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

3) Даны корни: $x_1 = -4$, $x_2 = -5$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -4 + (-5) = -9$
$x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-5) = 20$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (-9)x + (20) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 + 9x + 20 = 0$.
Ответ: $x^2 + 9x + 20 = 0$.

4) Даны корни: $x_1 = -3$, $x_2 = 6$.
Вычислим сумму и произведение корней:
$x_1 + x_2 = -3 + 6 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 6 = -18$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (3)x + (-18) = 0$
Искомое уравнение: $x^2 - 3x - 18 = 0$.
Ответ: $x^2 - 3x - 18 = 0$.

523. Подбором найти корни уравнения:

1) $x^2 + 5x + 6 = 0$;

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$;

3) $x^2 - 6x + 5 = 0$;

4) $x^2 + 8x + 7 = 0$;

5) $x^2 - 8x + 15 = 0$;

6) $x^2 + 2x - 15 = 0$.

Для решения данных квадратных уравнений методом подбора удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если существуют числа $x_1$ и $x_2$ такие, что их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($-p$), а их произведение равно свободному члену ($q$), то эти числа являются корнями уравнения.

Система уравнений для корней:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

1) $x^2 + 5x + 6 = 0$

В этом уравнении $p=5$ и $q=6$. Ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна -5.

Рассмотрим делители числа 6: 1, 2, 3, 6 и их противоположности -1, -2, -3, -6.
Поскольку произведение корней ($q=6$) положительно, а сумма ($-p=-5$) отрицательна, оба корня должны быть отрицательными.
Подбираем пары отрицательных делителей: $(-1) \cdot (-6) = 6$, но $(-1) + (-6) = -7$ (не подходит).
$(-2) \cdot (-3) = 6$ и $(-2) + (-3) = -5$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Ответ: -3; -2.

2) $x^2 - 7x + 12 = 0$

Здесь $p=-7$ и $q=12$. Ищем два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна $-(-7)=7$.

Рассмотрим делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Поскольку и произведение ($q=12$), и сумма ($-p=7$) положительны, оба корня должны быть положительными.
Подбираем пары положительных делителей: $1 \cdot 12 = 12$, но $1+12=13$ (не подходит).
$2 \cdot 6 = 12$, но $2+6=8$ (не подходит).
$3 \cdot 4 = 12$ и $3+4=7$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Ответ: 3; 4.

3) $x^2 - 6x + 5 = 0$

Здесь $p=-6$ и $q=5$. Ищем два числа, произведение которых равно 5, а сумма равна $-(-6)=6$.

Делители числа 5: 1, 5.
Поскольку и произведение ($q=5$), и сумма ($-p=6$) положительны, оба корня должны быть положительными.
$1 \cdot 5 = 5$ и $1+5=6$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

4) $x^2 + 8x + 7 = 0$

Здесь $p=8$ и $q=7$. Ищем два числа, произведение которых равно 7, а сумма равна -8.

Делители числа 7: 1, 7 и -1, -7.
Поскольку произведение ($q=7$) положительно, а сумма ($-p=-8$) отрицательна, оба корня должны быть отрицательными.
$(-1) \cdot (-7) = 7$ и $(-1) + (-7) = -8$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -7$.

Ответ: -7; -1.

5) $x^2 - 8x + 15 = 0$

Здесь $p=-8$ и $q=15$. Ищем два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна $-(-8)=8$.

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Поскольку и произведение ($q=15$), и сумма ($-p=8$) положительны, оба корня должны быть положительными.
Подбираем пары: $1 \cdot 15 = 15$, но $1+15=16$ (не подходит).
$3 \cdot 5 = 15$ и $3+5=8$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Ответ: 3; 5.

6) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Здесь $p=2$ и $q=-15$. Ищем два числа, произведение которых равно -15, а сумма равна -2.

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Поскольку произведение ($q=-15$) отрицательно, корни должны иметь разные знаки.
Поскольку сумма ($-p=-2$) отрицательна, модуль отрицательного корня должен быть больше модуля положительного.
Подбираем пары делителей с разными знаками: $1 \cdot (-15) = -15$, но $1+(-15)=-14$ (не подходит).
$3 \cdot (-5) = -15$ и $3+(-5)=-2$ (подходит).
Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.

Ответ: -5; 3.

524. Квадратный трёхчлен разложить на множители:

1) $x^2 - 5x + 6;$

2) $x^2 + 4x - 5;$

3) $x^2 + 5x - 24;$

4) $x^2 + x - 42;$

5) $2x^2 - x - 1;$

6) $8x^2 + 10x + 3;$

7) $-6x^2 + 7x - 2;$

8) $-4x^2 - 7x + 2.$

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся с помощью дискриминанта по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

1) $x^2 - 5x + 6$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-5$, $c=6$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Найдём корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$, $x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$.

Подставляем корни в формулу разложения: $a(x-x_1)(x-x_2) = 1 \cdot (x-3)(x-2) = (x-2)(x-3)$.

Ответ: $(x-2)(x-3)$.

2) $x^2 + 4x - 5$

Найдём корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=4$, $c=-5$.

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{-4+6}{2} = 1$, $x_2 = \frac{-4-6}{2} = -5$.

Разложение: $1 \cdot (x-1)(x-(-5)) = (x-1)(x+5)$.

Ответ: $(x-1)(x+5)$.

3) $x^2 + 5x - 24$

Найдём корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-24$.

Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 11}{2}$.

$x_1 = \frac{-5+11}{2} = 3$, $x_2 = \frac{-5-11}{2} = -8$.

Разложение: $1 \cdot (x-3)(x-(-8)) = (x-3)(x+8)$.

Ответ: $(x-3)(x+8)$.

4) $x^2 + x - 42$

Найдём корни уравнения $x^2 + x - 42 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-42$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 13}{2}$.

$x_1 = \frac{-1+13}{2} = 6$, $x_2 = \frac{-1-13}{2} = -7$.

Разложение: $1 \cdot (x-6)(x-(-7)) = (x-6)(x+7)$.

Ответ: $(x-6)(x+7)$.

5) $2x^2 - x - 1$

Найдём корни уравнения $2x^2 - x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Разложение: $2(x-1)(x-(-\frac{1}{2})) = 2(x-1)(x+\frac{1}{2}) = (x-1)(2(x+\frac{1}{2})) = (x-1)(2x+1)$.

Ответ: $(x-1)(2x+1)$.

6) $8x^2 + 10x + 3$

Найдём корни уравнения $8x^2 + 10x + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=8$, $b=10$, $c=3$.

Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-10 \pm 2}{16}$.

$x_1 = \frac{-10+2}{16} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-10-2}{16} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$.

Разложение: $8(x-(-\frac{1}{2}))(x-(-\frac{3}{4})) = 8(x+\frac{1}{2})(x+\frac{3}{4}) = (2(x+\frac{1}{2}))(4(x+\frac{3}{4})) = (2x+1)(4x+3)$.

Ответ: $(2x+1)(4x+3)$.

7) $-6x^2 + 7x - 2$

Найдём корни уравнения $-6x^2 + 7x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=-6$, $b=7$, $c=-2$.

Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-2) = 49 - 48 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-7 \pm 1}{-12}$.

$x_1 = \frac{-7+1}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-7-1}{-12} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$.

Разложение: $-6(x-\frac{1}{2})(x-\frac{2}{3}) = (-2 \cdot (x-\frac{1}{2})) \cdot (3 \cdot (x-\frac{2}{3})) = (-2x+1)(3x-2) = (1-2x)(3x-2)$.

Ответ: $(1-2x)(3x-2)$.

8) $-4x^2 - 7x + 2$

Найдём корни уравнения $-4x^2 - 7x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=-4$, $b=-7$, $c=2$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 2 = 49 + 32 = 81$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot (-4)} = \frac{7 \pm 9}{-8}$.

$x_1 = \frac{7+9}{-8} = \frac{16}{-8} = -2$, $x_2 = \frac{7-9}{-8} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$.

Разложение: $-4(x-(-2))(x-\frac{1}{4}) = -4(x+2)(x-\frac{1}{4}) = (x+2)(-4 \cdot (x-\frac{1}{4})) = (x+2)(-4x+1) = (x+2)(1-4x)$.

Ответ: $(x+2)(1-4x)$.