Страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

510. Найти все значения q, при которых уравнение $x^2 - 2x + q = 0$:

1) имеет два различных корня;

2) имеет один корень.

Данное уравнение $x^2 - 2x + q = 0$ является квадратным. Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты следующие: $a = 1$, $b = -2$, $c = q$. Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 4 - 4q$.

1) имеет два различных корня;

Квадратное уравнение имеет два различных (несовпадающих) корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$). Составим и решим неравенство: $4 - 4q > 0$

Перенесем $4q$ в правую часть неравенства: $4 > 4q$

Разделим обе части на 4: $1 > q$

Это неравенство можно записать как $q < 1$. Таким образом, при всех значениях $q$ меньших 1, уравнение будет иметь два различных корня.

Ответ: $q < 1$.

2) имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Составим и решим уравнение: $4 - 4q = 0$

Перенесем $4q$ в правую часть: $4 = 4q$

Разделим обе части на 4: $1 = q$

Таким образом, при $q = 1$ уравнение будет иметь один корень.

Ответ: $q = 1$.

511. Решить уравнение, используя формулу (3):

1) $5x^2 - 8x - 4 = 0;$

2) $4x^2 + 4x - 3 = 0;$

3) $5x^2 - 26x + 5 = 0.$

1) $5x^2 - 8x - 4 = 0$

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -8$, $c = -4$.

Поскольку коэффициент $b$ является четным числом, для решения удобнее использовать специальную формулу для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Эта формула, вероятно, и имеется в виду под "формулой (3)":

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

Сначала найдем значение $k$:

$k = \frac{-8}{2} = -4$.

Далее вычислим "упрощенный" дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = (-4)^2 - 5 \cdot (-4) = 16 + 20 = 36$.

Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, подставив значения в формулу:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{5} = \frac{4 \pm 6}{5}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{4 + 6}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

$x_2 = \frac{4 - 6}{5} = \frac{-2}{5} = -0.4$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{2}{5}$.

2) $4x^2 + 4x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 4$, $b = 4$, $c = -3$.

Коэффициент $b=4$ — четный, поэтому применим ту же формулу. Найдем $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = 2^2 - 4 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{-2 \pm 4}{4}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-2 + 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-2 - 4}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

3) $5x^2 - 26x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 5$, $b = -26$, $c = 5$.

Коэффициент $b=-26$ является четным. Найдем $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = (-13)^2 - 5 \cdot 5 = 169 - 25 = 144$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-(-13) \pm \sqrt{144}}{5} = \frac{13 \pm 12}{5}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{13 + 12}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

$x_2 = \frac{13 - 12}{5} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = \frac{1}{5}$.

512. С помощью калькулятора решить уравнение:

1) $2.5x^2 - 30.75x + 93.8 = 0;$

2) $1.2x^2 + 5.76x + 6.324 = 0;$

3) $17x^2 - 918x - 125307 = 0;$

4) $13x^2 - 702x - 82251 = 0.$

1) $2,5x^2 - 30,75x + 93,8 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 2,5$, $b = -30,75$, $c = 93,8$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-30,75)^2 - 4 \cdot 2,5 \cdot 93,8 = 945,5625 - 10 \cdot 93,8 = 945,5625 - 938 = 7,5625$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{7,5625} = 2,75$.
$x_1 = \frac{-(-30,75) + 2,75}{2 \cdot 2,5} = \frac{30,75 + 2,75}{5} = \frac{33,5}{5} = 6,7$.
$x_2 = \frac{-(-30,75) - 2,75}{2 \cdot 2,5} = \frac{30,75 - 2,75}{5} = \frac{28}{5} = 5,6$.
Ответ: $x_1 = 6,7; x_2 = 5,6$.

2) $1,2x^2 + 5,76x + 6,324 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1,2$, $b = 5,76$, $c = 6,324$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (5,76)^2 - 4 \cdot 1,2 \cdot 6,324 = 33,1776 - 4,8 \cdot 6,324 = 33,1776 - 30,3552 = 2,8224$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{2,8224} = 1,68$.
$x_1 = \frac{-5,76 + 1,68}{2 \cdot 1,2} = \frac{-4,08}{2,4} = -1,7$.
$x_2 = \frac{-5,76 - 1,68}{2 \cdot 1,2} = \frac{-7,44}{2,4} = -3,1$.
Ответ: $x_1 = -1,7; x_2 = -3,1$.

3) $17x^2 - 918x - 125307 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 17$, $b = -918$, $c = -125307$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-918)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-125307) = 842724 - 68 \cdot (-125307) = 842724 + 8520876 = 9363600$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{9363600} = 3060$.
$x_1 = \frac{-(-918) + 3060}{2 \cdot 17} = \frac{918 + 3060}{34} = \frac{3978}{34} = 117$.
$x_2 = \frac{-(-918) - 3060}{2 \cdot 17} = \frac{918 - 3060}{34} = \frac{-2142}{34} = -63$.
Ответ: $x_1 = 117; x_2 = -63$.

4) $13x^2 - 702x - 82251 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 13$, $b = -702$, $c = -82251$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-702)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-82251) = 492804 - 52 \cdot (-82251) = 492804 + 4277052 = 4769856$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{4769856} = 2184$.
$x_1 = \frac{-(-702) + 2184}{2 \cdot 13} = \frac{702 + 2184}{26} = \frac{2886}{26} = 111$.
$x_2 = \frac{-(-702) - 2184}{2 \cdot 13} = \frac{702 - 2184}{26} = \frac{-1482}{26} = -57$.
Ответ: $x_1 = 111; x_2 = -57$.

513. Записать формулу корней квадратного уравнения $x^2 + 2mx + c = 0$, решить с помощью этой формулы уравнение:

1) $x^2 - 12x + 20 = 0;$

2) $x^2 + 10x + 24 = 0;$

3) $x^2 + 10x - 24 = 0;$

4) $x^2 - 50x + 49 = 0.$

Для вывода формулы корней квадратного уравнения вида $x^2+2mx+c=0$ воспользуемся стандартной формулой корней для уравнения $ax^2+bx+c=0$, которая имеет вид $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=2m$, $c=c$. Подставим эти значения в общую формулу:

$x = \frac{-(2m) \pm \sqrt{(2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c}}{2 \cdot 1} = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 - 4c}}{2}$

Вынесем множитель 4 из-под корня:

$x = \frac{-2m \pm \sqrt{4(m^2 - c)}}{2} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 - c}}{2}$

Сократим числитель и знаменатель на 2 и получим искомую формулу:

$x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$

Теперь решим заданные уравнения с помощью этой формулы.

1) $x^2-12x+20=0$
Здесь коэффициент при $x$ равен $-12$, значит $2m = -12$, откуда $m = -6$. Свободный член $c=20$.
Подставляем значения в формулу $x = -m \pm \sqrt{m^2 - c}$:
$x = -(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 20} = 6 \pm \sqrt{36 - 20} = 6 \pm \sqrt{16} = 6 \pm 4$.
Находим корни:
$x_1 = 6 + 4 = 10$
$x_2 = 6 - 4 = 2$
Ответ: $2; 10$.

2) $x^2+10x+24=0$
Здесь $2m = 10$, откуда $m = 5$. Свободный член $c=24$.
Подставляем значения в формулу:
$x = -5 \pm \sqrt{5^2 - 24} = -5 \pm \sqrt{25 - 24} = -5 \pm \sqrt{1} = -5 \pm 1$.
Находим корни:
$x_1 = -5 + 1 = -4$
$x_2 = -5 - 1 = -6$
Ответ: $-6; -4$.

3) $x^2+10x-24=0$
Здесь $2m = 10$, откуда $m = 5$. Свободный член $c=-24$.
Подставляем значения в формулу:
$x = -5 \pm \sqrt{5^2 - (-24)} = -5 \pm \sqrt{25 + 24} = -5 \pm \sqrt{49} = -5 \pm 7$.
Находим корни:
$x_1 = -5 + 7 = 2$
$x_2 = -5 - 7 = -12$
Ответ: $-12; 2$.

4) $x^2-50x+49=0$
Здесь $2m = -50$, откуда $m = -25$. Свободный член $c=49$.
Подставляем значения в формулу:
$x = -(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 49} = 25 \pm \sqrt{625 - 49} = 25 \pm \sqrt{576} = 25 \pm 24$.
Находим корни:
$x_1 = 25 + 24 = 49$
$x_2 = 25 - 24 = 1$
Ответ: $1; 49$.

514. С помощью калькулятора найти приближённые значения корней уравнения с точностью до 0,01:

1) $1.3x^2 + 5.7x + 5.1 = 0;$

2) $2.3x^2 - 30.1x + 89 = 0;$

3) $x^2 + 19x - 68 = 0;$

4) $x^2 - 23x - 51 = 0.$

1) Для решения квадратного уравнения $1.3x^2 + 5.7x + 5.1 = 0$ используем формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Коэффициенты уравнения: $a=1.3$, $b=5.7$, $c=5.1$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (5.7)^2 - 4 \cdot 1.3 \cdot 5.1 = 32.49 - 26.52 = 5.97$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их с помощью калькулятора и округлим до сотых.
$\sqrt{D} = \sqrt{5.97} \approx 2.443358$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5.7 + \sqrt{5.97}}{2 \cdot 1.3} \approx \frac{-5.7 + 2.443358}{2.6} \approx \frac{-3.256642}{2.6} \approx -1.25255... \approx -1.25$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5.7 - \sqrt{5.97}}{2 \cdot 1.3} \approx \frac{-5.7 - 2.443358}{2.6} \approx \frac{-8.143358}{2.6} \approx -3.13206... \approx -3.13$
Ответ: $x_1 \approx -1.25$; $x_2 \approx -3.13$.

2) Решим уравнение $2.3x^2 - 30.1x + 89 = 0$.
Коэффициенты: $a=2.3$, $b=-30.1$, $c=89$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-30.1)^2 - 4 \cdot 2.3 \cdot 89 = 906.01 - 818.8 = 87.21$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{87.21} \approx 9.338629$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{30.1 + \sqrt{87.21}}{2 \cdot 2.3} \approx \frac{30.1 + 9.338629}{4.6} \approx \frac{39.438629}{4.6} \approx 8.57361... \approx 8.57$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{30.1 - \sqrt{87.21}}{2 \cdot 2.3} \approx \frac{30.1 - 9.338629}{4.6} \approx \frac{20.761371}{4.6} \approx 4.51334... \approx 4.51$
Ответ: $x_1 \approx 8.57$; $x_2 \approx 4.51$.

3) Решим уравнение $x^2 + 19x - 68 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=19$, $c=-68$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-68) = 361 + 272 = 633$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{633} \approx 25.159491$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 + \sqrt{633}}{2} \approx \frac{-19 + 25.159491}{2} = \frac{6.159491}{2} \approx 3.07974... \approx 3.08$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 - \sqrt{633}}{2} \approx \frac{-19 - 25.159491}{2} = \frac{-44.159491}{2} \approx -22.07974... \approx -22.08$
Ответ: $x_1 \approx 3.08$; $x_2 \approx -22.08$.

4) Решим уравнение $x^2 - 23x - 51 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-23$, $c=-51$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51) = 529 + 204 = 733$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{733} \approx 27.073973$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{733}}{2} \approx \frac{23 + 27.073973}{2} = \frac{50.073973}{2} \approx 25.03698... \approx 25.04$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{733}}{2} \approx \frac{23 - 27.073973}{2} = \frac{-4.073973}{2} \approx -2.03698... \approx -2.04$
Ответ: $x_1 \approx 25.04$; $x_2 \approx -2.04$.

515. Доказать, что уравнение $x^2 + px - 1 = 0$ при любом $p$ имеет два различных корня.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + px - 1 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

• $a = 1$
• $b = p$
• $c = -1$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = p^2 + 4$

Теперь нам нужно доказать, что выражение $p^2 + 4$ всегда больше нуля при любом значении параметра $p$.

Выражение $p^2$, как квадрат любого действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу ($p^2$) прибавить положительное число (4), то результат всегда будет строго положительным. Минимальное значение выражения $p^2$ равно 0 (при $p=0$). В этом случае дискриминант $D = 0 + 4 = 4$. Во всех остальных случаях, когда $p \ne 0$, $p^2 > 0$, и, следовательно, $D > 4$.

Таким образом, $D = p^2 + 4 \ge 4$ при любом значении $p$.

Поскольку дискриминант $D$ всегда строго больше нуля, уравнение $x^2 + px - 1 = 0$ при любом $p$ имеет два различных действительных корня.

Ответ: Утверждение доказано, так как дискриминант уравнения $D = p^2 + 4$ всегда положителен.

516. Доказать, что уравнение $ax^2+bx-a=0$ при $a \neq 0$ и любом $b$ имеет два различных корня.

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение имеет два различных корня, необходимо и достаточно доказать, что его дискриминант (D) строго больше нуля ($D > 0$).

Дано уравнение: $ax^2 + bx - a = 0$.

По условию задачи, $a \ne 0$, следовательно, это уравнение является квадратным. Коэффициенты этого уравнения:

• старший коэффициент: $a$
• коэффициент при x: $b$
• свободный член: $-a$

Найдем дискриминант $D$ по стандартной формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = b^2 - 4 \cdot a \cdot (-a)$

Упростим выражение:

$D = b^2 + 4a^2$

Теперь проанализируем знак полученного выражения для дискриминанта, учитывая условия, наложенные на переменные $a$ и $b$:

1. По условию $a \ne 0$. Квадрат любого ненулевого числа является строго положительным числом, поэтому $a^2 > 0$. Соответственно, $4a^2$ также будет строго положительным числом: $4a^2 > 0$.
2. По условию $b$ – любое действительное число. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $b^2 \ge 0$.

Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа ($b^2$) и строго положительного числа ($4a^2$). Сумма неотрицательного и строго положительного чисел всегда строго положительна.

Следовательно, $D = b^2 + 4a^2 > 0$ при любых $a \ne 0$ и $b$.

Поскольку дискриминант уравнения всегда строго больше нуля, данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D = b^2 + 4a^2$. Так как по условию $a \ne 0$ и $b$ - любое число, то $4a^2 > 0$ и $b^2 \ge 0$. Отсюда следует, что $D > 0$ при любых заданных условиях, а значит, уравнение всегда имеет два различных корня. Доказано.