Номер 510, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 510, страница 203.

Условие.

510. Найти все значения q, при которых уравнение $x^2 - 2x + q = 0$:

1) имеет два различных корня;

2) имеет один корень.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данное уравнение $x^2 - 2x + q = 0$ является квадратным. Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты следующие: $a = 1$, $b = -2$, $c = q$. Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 4 - 4q$.

1) имеет два различных корня;

Квадратное уравнение имеет два различных (несовпадающих) корня, если его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$). Составим и решим неравенство: $4 - 4q > 0$

Перенесем $4q$ в правую часть неравенства: $4 > 4q$

Разделим обе части на 4: $1 > q$

Это неравенство можно записать как $q < 1$. Таким образом, при всех значениях $q$ меньших 1, уравнение будет иметь два различных корня.

Ответ: $q < 1$.

2) имеет один корень.

Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю ($D = 0$). Составим и решим уравнение: $4 - 4q = 0$

Перенесем $4q$ в правую часть: $4 = 4q$

Разделим обе части на 4: $1 = q$

Таким образом, при $q = 1$ уравнение будет иметь один корень.

Ответ: $q = 1$.