Номер 511, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 511, страница 203.

Условие.

511. Решить уравнение, используя формулу (3):

1) $5x^2 - 8x - 4 = 0;$

2) $4x^2 + 4x - 3 = 0;$

3) $5x^2 - 26x + 5 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $5x^2 - 8x - 4 = 0$

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -8$, $c = -4$.

Поскольку коэффициент $b$ является четным числом, для решения удобнее использовать специальную формулу для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Эта формула, вероятно, и имеется в виду под "формулой (3)":

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

Сначала найдем значение $k$:

$k = \frac{-8}{2} = -4$.

Далее вычислим "упрощенный" дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = (-4)^2 - 5 \cdot (-4) = 16 + 20 = 36$.

Поскольку $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, подставив значения в формулу:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{5} = \frac{4 \pm 6}{5}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{4 + 6}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

$x_2 = \frac{4 - 6}{5} = \frac{-2}{5} = -0.4$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{2}{5}$.

2) $4x^2 + 4x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 4$, $b = 4$, $c = -3$.

Коэффициент $b=4$ — четный, поэтому применим ту же формулу. Найдем $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = 2^2 - 4 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{-2 \pm 4}{4}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{-2 + 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-2 - 4}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

3) $5x^2 - 26x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 5$, $b = -26$, $c = 5$.

Коэффициент $b=-26$ является четным. Найдем $k$:

$k = \frac{b}{2} = \frac{-26}{2} = -13$.

Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$:

$D_1 = (-13)^2 - 5 \cdot 5 = 169 - 25 = 144$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-(-13) \pm \sqrt{144}}{5} = \frac{13 \pm 12}{5}$.

Вычисляем каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{13 + 12}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

$x_2 = \frac{13 - 12}{5} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = \frac{1}{5}$.