Номер 508, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 508, страница 202.

Условие.

508. 1) $ \frac{x^2 + 3x}{2} = \frac{x+7}{4}; $

2) $ \frac{x^2 - 3x}{7} + x = 11; $

3) $ \frac{2x^2 + x}{3} - \frac{2-3x}{4} = \frac{x^2 - 6}{6}; $

4) $ \frac{x^2 + x}{4} - \frac{3-7x}{20} = 0,3. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано уравнение: $\frac{x^2 + 3x}{2} = \frac{x + 7}{4}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 4, то есть на 4:

$4 \cdot \frac{x^2 + 3x}{2} = 4 \cdot \frac{x + 7}{4}$

$2(x^2 + 3x) = x + 7$

Раскроем скобки в левой части:

$2x^2 + 6x = x + 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 6x - x - 7 = 0$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 2$, $b = 5$, $c = -7$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: $-3,5; 1$.

2) Дано уравнение: $\frac{x^2 - 3x}{7} + x = 11$.

Умножим все члены уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot \frac{x^2 - 3x}{7} + 7 \cdot x = 7 \cdot 11$

$x^2 - 3x + 7x = 77$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 4x = 77$

Перенесем 77 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 77 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a=1, b=4, c=-77$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Ответ: $-11; 7$.

3) Дано уравнение: $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{2 - 3x}{4} = \frac{x^2 - 6}{6}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 6 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{2x^2 + x}{3} - 12 \cdot \frac{2 - 3x}{4} = 12 \cdot \frac{x^2 - 6}{6}$

$4(2x^2 + x) - 3(2 - 3x) = 2(x^2 - 6)$

Раскроем скобки:

$8x^2 + 4x - 6 + 9x = 2x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x^2 + 13x - 6 = 2x^2 - 12$

Перенесем все члены в левую часть:

$8x^2 - 2x^2 + 13x - 6 + 12 = 0$

$6x^2 + 13x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Здесь $a=6, b=13, c=6$.

Найдем дискриминант:

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 + 5}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 - 5}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5; -\frac{2}{3}$.

4) Дано уравнение: $\frac{x^2 + x}{4} - \frac{3 - 7x}{20} = 0,3$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,3 = \frac{3}{10}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{x^2 + x}{4} - \frac{3 - 7x}{20} = \frac{3}{10}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 4, 20 и 10 равно 20. Умножим обе части уравнения на 20:

$20 \cdot \frac{x^2 + x}{4} - 20 \cdot \frac{3 - 7x}{20} = 20 \cdot \frac{3}{10}$

$5(x^2 + x) - (3 - 7x) = 2 \cdot 3$

Раскроем скобки:

$5x^2 + 5x - 3 + 7x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x^2 + 12x - 3 = 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 + 12x - 3 - 6 = 0$

$5x^2 + 12x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Здесь $a=5, b=12, c=-9$.

Найдем дискриминант:

$D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 144 + 180 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + 18}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - 18}{10} = \frac{-30}{10} = -3$

Ответ: $-3; 0,6$.