Номер 506, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 506, страница 202.

Условие.

Решить уравнение (506–508).

506.

1) $7x^2 - 6x + 2 = 0$;

2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$;

3) $9x^2 + 12x + 4 = 0$;

4) $4x^2 - 20x + 25 = 0$;

5) $4x^2 + 12x + 9 = 0$;

6) $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $7x^2 - 6x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=7$, $b=-6$, $c=2$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=3$, $b=-5$, $c=4$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

3) $9x^2 + 12x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=9$, $b=12$, $c=4$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который можно найти по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-12}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $9x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(3x+2)^2 = 0$, откуда $3x+2=0$ и $x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

4) $4x^2 - 20x + 25 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=4$, $b=-20$, $c=25$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0$.
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = \frac{-b}{2a}$.
$x = \frac{-(-20)}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $4x^2 - 20x + 25 = (2x-5)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(2x-5)^2 = 0$, откуда $2x-5=0$ и $x = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

5) $4x^2 + 12x + 9 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=4$, $b=12$, $c=9$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = \frac{-b}{2a}$.
$x = \frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(2x+3)^2 = 0$, откуда $2x+3=0$ и $x = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$.

6) $x^2 - 3x - 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
$x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{3-5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: $-1; 4$.