Номер 502, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 502, страница 202.

Условие.

502. Найти все значения x, при которых равно нулю значение выражения:

1) $2x^2 + 5x - 3$;

2) $2x^2 - 7x - 4$;

3) $3x^2 + x - 4$;

4) $3x^2 + 2x - 1$;

5) $x^2 + 4x - 3$;

6) $3x^2 + 12x + 10$;

7) $-2x^2 + x + 1$;

8) $-3x^2 - x + 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы найти значения x, при которых значение выражения равно нулю, необходимо приравнять каждое выражение к нулю и решить полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Корни такого уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $2x^2 + 5x - 3 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=5, c=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
Ответ: $x_1 = 0,5$; $x_2 = -3$.

2) $2x^2 - 7x - 4 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=-7, c=-4$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 4$; $x_2 = -0,5$.

3) $3x^2 + x - 4 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=1, c=-4$.
Вычислим дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -\frac{4}{3}$.

4) $3x^2 + 2x - 1 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=2, c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$; $x_2 = -1$.

5) $x^2 + 4x - 3 = 0$
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.
$\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = -2 \pm \sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = -2 + \sqrt{7}$; $x_2 = -2 - \sqrt{7}$.

6) $3x^2 + 12x + 10 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=12, c=10$.
Вычислим дискриминант:
$D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$.
$\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{6}}{3}$; $x_2 = \frac{-6 - \sqrt{6}}{3}$.

7) $-2x^2 + x + 1 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -0,5$.

8) $-3x^2 - x + 4 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$3x^2 + x - 4 = 0$.
Данное уравнение идентично уравнению из пункта 3), поэтому корни будут такими же.
$x_1 = 1$
$x_2 = -\frac{4}{3}$
Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -\frac{4}{3}$.