Номер 1, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 201.

Условие.

1. Решить уравнение:

1) $x^2 - 81 = 0$;

2) $5x^2 + 15x = 0$;

3) $(x - 2)^2 = 0$;

4) $(x + 1)^2 - 1 = 0$.

Решение 4.

1) $x^2 - 81 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (-81) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = 81$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня — положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{81}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 9$

$x_2 = -9$

Ответ: $x = \pm 9$.

2) $5x^2 + 15x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $5x^2$ и $15x$ является $5x$.

$5x(x + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$5x = 0$ или $x + 3 = 0$

Решим каждое из полученных уравнений:

Из $5x = 0$ следует, что $x_1 = 0$.

Из $x + 3 = 0$ следует, что $x_2 = -3$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$.

3) $(x - 2)^2 = 0$

В данном уравнении выражение в скобках возводится в квадрат, и результат равен нулю. Квадрат какого-либо числа равен нулю только в том случае, если само это число равно нулю.

Следовательно, мы можем приравнять выражение в скобках к нулю:

$x - 2 = 0$

Перенесем -2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 2$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $x = 2$.

4) $(x + 1)^2 - 1 = 0$

Это уравнение можно решить несколькими способами. Рассмотрим наиболее простой. Перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$(x + 1)^2 = 1$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Как и в первом примере, корень может быть положительным или отрицательным.

$x + 1 = \pm\sqrt{1}$

$x + 1 = \pm 1$

Это уравнение распадается на два отдельных линейных уравнения:

Первый случай: $x + 1 = 1$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем $x_1 = 1 - 1 = 0$.

Второй случай: $x + 1 = -1$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем $x_2 = -1 - 1 = -2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.