Номер 2, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 201.

Условие.

2. С помощью свойств уравнений обосновать этапы преобразования уравнения $ax^2+bx+c=0$ $(a \neq 0)$ к виду (1).

Решение 4.

Для того чтобы обосновать этапы преобразования уравнения $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq0$) к виду (1), которым является формула для нахождения корней квадратного уравнения, необходимо выполнить ряд последовательных равносильных преобразований. Каждый шаг основывается на свойствах уравнений.

Шаг 1. Перенос свободного члена в правую часть
Исходное уравнение: $ax^2+bx+c=0$.
Обоснование: используется свойство равносильности уравнений, которое гласит, что если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих вычесть) одно и то же число или выражение, то получится уравнение, равносильное данному. Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $c$.
$ax^2+bx+c-c = 0-c$
Получаем: $ax^2+bx = -c$.

Шаг 2. Деление уравнения на старший коэффициент
Обоснование: используется свойство равносильности, согласно которому обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Поскольку по условию $a\neq0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$.
$\frac{ax^2+bx}{a} = \frac{-c}{a}$
Получаем приведенное уравнение: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$.

Шаг 3. Выделение полного квадрата в левой части
Обоснование: для преобразования левой части к виду полного квадрата двучлена $(x+k)^2 = x^2+2kx+k^2$, необходимо добавить соответствующее слагаемое. Сравнивая выражение $x^2 + \frac{b}{a}x$ с $x^2+2kx$, находим, что $2kx = \frac{b}{a}x$, откуда $k=\frac{b}{2a}$. Таким образом, нужное слагаемое — это $k^2 = (\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}$. Чтобы сохранить равносильность уравнения, это же выражение необходимо прибавить и к правой части (согласно свойству из шага 1).
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

Шаг 4. Преобразование левой и правой частей
Обоснование: выполняются тождественные алгебраические преобразования. Левая часть сворачивается по формуле квадрата суммы. Правая часть упрощается путем приведения дробей к общему знаменателю.
Левая часть: $(x + \frac{b}{2a})^2$.
Правая часть: $-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{-c \cdot 4a}{a \cdot 4a} + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
Уравнение приобретает вид: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$.

Шаг 5. Извлечение квадратного корня из обеих частей
Обоснование: применяется правило решения уравнений вида $Y^2=M$. Если $M \geq 0$, то $Y = \pm\sqrt{M}$. Это преобразование является равносильным при условии, что правая часть уравнения неотрицательна, то есть $b^2-4ac \ge 0$.
$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
Используя свойство корня из дроби ($\sqrt{\frac{M}{N}}=\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{N}}$) и свойство корня из квадрата ($\sqrt{y^2}=|y|$), получаем:
$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$.
Так как перед дробью стоит знак $\pm$, который уже учитывает оба возможных знака, то модуль в знаменателе можно опустить и записать просто $2a$.

Шаг 6. Выражение переменной $x$
Обоснование: для нахождения $x$ переносим слагаемое $\frac{b}{2a}$ из левой части в правую, используя свойство равносильности (аналогично шагу 1). Затем приводим дроби в правой части к общему знаменателю.
$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Это и есть искомая формула вида (1).

Ответ: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.