Номер 496, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 496, страница 197.

Условие.

496. Методом выделения полного квадрата решить уравнение:

1) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 + 4x - 12 = 0;$

3) $x^2 + 2x - 15 = 0;$

4) $x^2 - 10x + 16 = 0;$

5) $x^2 - 6x + 3 = 0;$

6) $x^2 + 8x - 7 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Метод выделения полного квадрата используется для решения квадратных уравнений вида $ax^2+bx+c=0$. Суть метода заключается в преобразовании левой части уравнения к виду $(x+k)^2$ или $(x-k)^2$.

1) $x^2 - 4x - 5 = 0$

Перенесем свободный член (-5) в правую часть уравнения:

$x^2 - 4x = 5$

Для того чтобы левая часть стала полным квадратом, нужно добавить к ней и к правой части уравнения квадрат половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен $-4$, его половина равна $-2$, а квадрат половины — $(-2)^2 = 4$.

$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$

Теперь левая часть является полным квадратом разности $(x-2)^2$.

$(x - 2)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 2 = \pm\sqrt{9}$

$x - 2 = \pm 3$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 2 + 3 = 5$

$x_2 = 2 - 3 = -1$

Ответ: $x_1=5$, $x_2=-1$.

2) $x^2 + 4x - 12 = 0$

Перенесем свободный член (-12) в правую часть:

$x^2 + 4x = 12$

Коэффициент при $x$ равен $4$. Половина этого коэффициента равна $2$, а ее квадрат — $2^2 = 4$. Добавим $4$ к обеим частям уравнения:

$x^2 + 4x + 4 = 12 + 4$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(x + 2)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$x + 2 = \pm\sqrt{16}$

$x + 2 = \pm 4$

Находим корни:

$x_1 = -2 + 4 = 2$

$x_2 = -2 - 4 = -6$

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-6$.

3) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Перенесем свободный член (-15) в правую часть:

$x^2 + 2x = 15$

Коэффициент при $x$ равен $2$. Половина этого коэффициента равна $1$, а ее квадрат — $1^2 = 1$. Добавим $1$ к обеим частям:

$x^2 + 2x + 1 = 15 + 1$

Свернем левую часть:

$(x + 1)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$x + 1 = \pm\sqrt{16}$

$x + 1 = \pm 4$

Находим корни:

$x_1 = -1 + 4 = 3$

$x_2 = -1 - 4 = -5$

Ответ: $x_1=3$, $x_2=-5$.

4) $x^2 - 10x + 16 = 0$

Перенесем свободный член (16) в правую часть:

$x^2 - 10x = -16$

Коэффициент при $x$ равен $-10$. Половина этого коэффициента — $-5$, а ее квадрат — $(-5)^2 = 25$. Добавим $25$ к обеим частям:

$x^2 - 10x + 25 = -16 + 25$

Свернем левую часть:

$(x - 5)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень:

$x - 5 = \pm\sqrt{9}$

$x - 5 = \pm 3$

Находим корни:

$x_1 = 5 + 3 = 8$

$x_2 = 5 - 3 = 2$

Ответ: $x_1=8$, $x_2=2$.

5) $x^2 - 6x + 3 = 0$

Перенесем свободный член (3) в правую часть:

$x^2 - 6x = -3$

Коэффициент при $x$ равен $-6$. Половина — $-3$, квадрат половины — $(-3)^2 = 9$. Добавим $9$ к обеим частям:

$x^2 - 6x + 9 = -3 + 9$

Свернем левую часть:

$(x - 3)^2 = 6$

Извлечем квадратный корень:

$x - 3 = \pm\sqrt{6}$

Находим корни:

$x = 3 \pm\sqrt{6}$

Ответ: $x_1=3+\sqrt{6}$, $x_2=3-\sqrt{6}$.

6) $x^2 + 8x - 7 = 0$

Перенесем свободный член (-7) в правую часть:

$x^2 + 8x = 7$

Коэффициент при $x$ равен $8$. Половина — $4$, квадрат половины — $4^2 = 16$. Добавим $16$ к обеим частям:

$x^2 + 8x + 16 = 7 + 16$

Свернем левую часть:

$(x + 4)^2 = 23$

Извлечем квадратный корень:

$x + 4 = \pm\sqrt{23}$

Находим корни:

$x = -4 \pm\sqrt{23}$

Ответ: $x_1=-4+\sqrt{23}$, $x_2=-4-\sqrt{23}$.