Номер 3, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 197.

Условие.

3. Представить в виде квадрата двучлена:

1) $x^2 + 4x + 4;$

2) $x^2 - 6x + 9;$

3) $4x^2 - 12x + 9;$

4) $\frac{1}{4} + x + x^2.$

Решение 4.

1) Чтобы представить трехчлен $x^2 + 4x + 4$ в виде квадрата двучлена, используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$.
Третий член $b^2 = 4 = 2^2$, следовательно, $b = 2$.
Теперь проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$x^2 + 4x + 4 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + (2)^2 = (x + 2)^2$.
Ответ: $(x + 2)^2$.

2) Для выражения $x^2 - 6x + 9$ используется формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$.
Третий член $b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.
Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$: $-2 \cdot x \cdot 3 = -6x$.
Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$x^2 - 6x + 9 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + (3)^2 = (x - 3)^2$.
Ответ: $(x - 3)^2$.

3) Рассмотрим выражение $4x^2 - 12x + 9$ и применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, следовательно, $a = 2x$.
Третий член $b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot (2x) \cdot 3 = -12x$.
Значение совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + (3)^2 = (2x - 3)^2$.
Ответ: $(2x - 3)^2$.

4) Для выражения $\frac{1}{4} + x + x^2$ применим формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для удобства можно переставить слагаемые: $x^2 + x + \frac{1}{4}$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$.
Третий член $b^2 = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$, следовательно, $b = \frac{1}{2}$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$.
Значение совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$\frac{1}{4} + x + x^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + (x)^2 = (\frac{1}{2} + x)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2} + x)^2$.