Номер 497, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 497, страница 197.

Условие.

Решить уравнение (497—499).

497.

1) $9x^2 + 6x - 8 = 0$;

2) $25x^2 - 10x - 3 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $9x^2 + 6x - 8 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Определим коэффициенты:

$a = 9, b = 6, c = -8$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{324} = 18$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 - 18}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}; \frac{2}{3}$.

2) $25x^2 - 10x - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Определим коэффициенты:

$a = 25, b = -10, c = -3$.

Так как коэффициент $b$ является четным числом, для удобства вычислений можно использовать формулу для "упрощенного" дискриминанта $D_1$ (или $D/4$): $D_1 = k^2 - ac$, где $k = \frac{b}{2}$.

$k = \frac{-10}{2} = -5$.

$D_1 = (-5)^2 - 25 \cdot (-3) = 25 + 75 = 100$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{100} = 10$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) - 10}{25} = \frac{5 - 10}{25} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-(-5) + 10}{25} = \frac{5 + 10}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}; \frac{3}{5}$.