Номер 495, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 495, страница 197.

Условие.

495. Найти такое положительное число m, чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности:

1) $x^2+4x+m;$

2) $x^2-6x+m;$

3) $x^2-14x+m;$

4) $x^2+16x+m;$

5) $x^2+mx+4;$

6) $x^2-mx+9.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности, оно должно представлять собой полный квадрат, соответствующий одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

1) $x^2+4x+m$

Чтобы выражение было квадратом суммы, оно должно соответствовать формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a^2=x^2$, следовательно, $a=x$. Средний член выражения $4x$ должен быть равен $2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb=4x$. Отсюда находим $b = \frac{4x}{2x} = 2$. Тогда член $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 2^2 = 4$. Выражение принимает вид $x^2+4x+4 = (x+2)^2$. Число $m=4$ является положительным.

Ответ: $m=4$.

2) $x^2-6x+m$

Чтобы выражение было квадратом разности, оно должно соответствовать формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a^2=x^2$, следовательно, $a=x$. Средний член выражения $-6x$ должен быть равен $-2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $-2xb=-6x$. Отсюда находим $b = \frac{-6x}{-2x} = 3$. Тогда член $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 3^2 = 9$. Выражение принимает вид $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. Число $m=9$ является положительным.

Ответ: $m=9$.

3) $x^2-14x+m$

Это выражение должно быть квадратом разности вида $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=x$. Средний член $-14x$ равен $-2ab$, то есть $-2xb=-14x$. Отсюда находим $b = \frac{-14x}{-2x} = 7$. Тогда $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 7^2 = 49$. Выражение принимает вид $x^2-14x+49 = (x-7)^2$. Число $m=49$ является положительным.

Ответ: $m=49$.

4) $x^2+16x+m$

Это выражение должно быть квадратом суммы вида $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Здесь $a=x$. Средний член $16x$ равен $2ab$, то есть $2xb=16x$. Отсюда находим $b = \frac{16x}{2x} = 8$. Тогда $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 8^2 = 64$. Выражение принимает вид $x^2+16x+64 = (x+8)^2$. Число $m=64$ является положительным.

Ответ: $m=64$.

5) $x^2+mx+4$

Чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности, оно должно соответствовать формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab+b^2$. В данном выражении $a^2=x^2$, значит $a=x$. Последний член равен $4$, то есть $b^2=4$, откуда $b=2$. Так как по условию $m$ должно быть положительным числом, то средний член $mx$ должен быть положительным, что соответствует квадрату суммы $(a+b)^2$. Средний член в формуле равен $2ab$. Подставляем $a=x$ и $b=2$: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Сравнивая это со средним членом $mx$, получаем $mx = 4x$, откуда $m=4$. Выражение принимает вид $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Ответ: $m=4$.

6) $x^2-mx+9$

Это выражение должно соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, так как по условию $m$ должно быть положительным числом, а перед членом $mx$ стоит знак минус. В данном выражении $a^2=x^2$, значит $a=x$. Последний член равен $9$, то есть $b^2=9$, откуда $b=3$. Средний член в формуле равен $-2ab$. Подставляем $a=x$ и $b=3$: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 3 = -6x$. Сравнивая это со средним членом $-mx$, получаем $-mx = -6x$, откуда $m=6$. Выражение принимает вид $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. Число $m=6$ является положительным.

Ответ: $m=6$.