Номер 3, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 197.

Условие.

3. Пояснить цель третьего этапа преобразования уравнения в задаче 3.

Решение 4.

3.

Поскольку точный текст задачи 3 и предыдущие этапы преобразования уравнения не предоставлены, данный ответ основывается на анализе общей методологии решения математических уравнений и иллюстрируется на характерном примере.

В общем случае, при решении сложных уравнений (например, дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических) используется многоэтапный подход. Цель каждого этапа — последовательно упростить уравнение, избавляясь от усложняющих его элементов, чтобы в итоге привести его к стандартному виду, для которого существуют известные методы решения.

Рассмотрим в качестве примера решение типичного дробно-рационального уравнения, чтобы пояснить роль одного из промежуточных этапов. Пусть необходимо решить уравнение:

$ \frac{x+1}{x-1} - \frac{2}{x+1} = \frac{4}{x^2-1} $

Процесс решения такого уравнения можно разбить на следующие шаги:

Этап 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ) и нахождение общего знаменателя. Общий знаменатель $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $. ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

Этап 2: Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель с целью избавления от дробей. Это приводит к уравнению:
$ (x+1)(x+1) - 2(x-1) = 4 $

Этап 3: Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и приведение уравнения к стандартному (каноническому) виду.
$ x^2 + 2x + 1 - 2x + 2 = 4 $
$ x^2 + 3 = 4 $
$ x^2 - 1 = 0 $

На данном, третьем, этапе мы преобразовали исходное сложное уравнение к простому неполному квадратному уравнению. Следующими шагами будут его решение и проверка корней на соответствие ОДЗ.

Исходя из этого примера, можно сформулировать цель третьего этапа.

Цель третьего этапа преобразования:

Цель данного этапа заключается в том, чтобы после устранения усложняющих элементов (в нашем случае — знаменателей) выполнить все необходимые алгебраические упрощения для приведения уравнения к одному из стандартных видов (например, линейному $ ax+b=0 $ или квадратному $ ax^2+bx+c=0 $). Эти упрощения включают раскрытие скобок, группировку и приведение подобных членов. Данный этап является ключевым, поскольку он переводит уравнение из промежуточного, еще громоздкого состояния в финальную, простую форму, готовую для применения стандартных алгоритмов нахождения корней. Без этого этапа систематизации дальнейшее решение было бы затруднено.

Ответ: Цель третьего этапа преобразования уравнения — это его алгебраическое упрощение (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) для приведения к стандартному каноническому виду (например, к квадратному уравнению $ ax^2+bx+c=0 $), что позволяет на следующем этапе применить известные методы для нахождения корней.