Номер 490, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 27. Неполные квадратные уравнения. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 490, страница 194.

Условие.

490. Решить уравнение:

1) $x(x - 15) = 3(108 - 5x)$;

2) $(x - 7)(x + 3) + (x - 1)(x + 5) = 102$;

3) $(2x + 1)(x - 3) - (1 - x)(x - 5) = 29 - 11x$;

4) $(3x - 8)^2 - (4x - 6)^2 + (5x - 2)(5x + 2) = 96$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $x(x - 15) = 3(108 - 5x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 15x = 324 - 15x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы собрать все слагаемые с переменной и без нее:
$x^2 - 15x + 15x - 324 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-15x$ и $+15x$ взаимно уничтожаются:
$x^2 - 324 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = 324$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня:
$x_1 = \sqrt{324} = 18$
$x_2 = -\sqrt{324} = -18$
Ответ: -18; 18.

2) $(x - 7)(x + 3) + (x - 1)(x + 5) = 102$
Раскроем скобки, перемножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(x^2 + 3x - 7x - 21) + (x^2 + 5x - x - 5) = 102$
Приведем подобные слагаемые внутри каждой из скобок:
$(x^2 - 4x - 21) + (x^2 + 4x - 5) = 102$
Теперь раскроем скобки и снова приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 4x - 21 + x^2 + 4x - 5 = 102$
$(x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (-21 - 5) = 102$
$2x^2 - 26 = 102$
Перенесем свободный член $-26$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x^2 = 102 + 26$
$2x^2 = 128$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 = 64$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x_1 = \sqrt{64} = 8$
$x_2 = -\sqrt{64} = -8$
Ответ: -8; 8.

3) $(2x + 1)(x - 3) - (1 - x)(x - 5) = 29 - 11x$
Раскроем скобки путем перемножения двучленов:
$(2x \cdot x + 2x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3)) - (1 \cdot x + 1 \cdot (-5) - x \cdot x - x \cdot (-5)) = 29 - 11x$
$(2x^2 - 6x + x - 3) - (x - 5 - x^2 + 5x) = 29 - 11x$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(2x^2 - 5x - 3) - (-x^2 + 6x - 5) = 29 - 11x$
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$2x^2 - 5x - 3 + x^2 - 6x + 5 = 29 - 11x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2x^2 + x^2) + (-5x - 6x) + (-3 + 5) = 29 - 11x$
$3x^2 - 11x + 2 = 29 - 11x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$3x^2 - 11x + 11x + 2 - 29 = 0$
$3x^2 - 27 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$3x^2 = 27$
Разделим обе части на 3:
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень:
$x_1 = \sqrt{9} = 3$
$x_2 = -\sqrt{9} = -3$
Ответ: -3; 3.

4) $(3x - 8)^2 - (4x - 6)^2 + (5x - 2)(5x + 2) = 96$
Используем формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Раскроем скобки:
$( (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 ) - ( (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 6 + 6^2 ) + ( (5x)^2 - 2^2 ) = 96$
$(9x^2 - 48x + 64) - (16x^2 - 48x + 36) + (25x^2 - 4) = 96$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$9x^2 - 48x + 64 - 16x^2 + 48x - 36 + 25x^2 - 4 = 96$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 16x^2 + 25x^2) + (-48x + 48x) + (64 - 36 - 4) = 96$
$18x^2 + 0 + 24 = 96$
$18x^2 + 24 = 96$
Перенесем свободный член в правую часть:
$18x^2 = 96 - 24$
$18x^2 = 72$
Разделим обе части уравнения на 18:
$x^2 = \frac{72}{18}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень:
$x_1 = \sqrt{4} = 2$
$x_2 = -\sqrt{4} = -2$
Ответ: -2; 2.