Страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

488. 1) $3x^2+6x=8x^2-15x;$

2) $17x^2-5x=14x^2+7x;$

3) $10x+7x^2=2x^2+8x;$

4) $15x+9x^2=7x^2+10x.$

1) $3x^2 + 6x = 8x^2 - 15x$

Для решения данного уравнения перенесем все его члены в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Удобнее перенести члены из левой части в правую.

$8x^2 - 3x^2 - 15x - 6x = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(8-3)x^2 + (-15-6)x = 0$

$5x^2 - 21x = 0$

Получилось неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 21) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

или

$5x - 21 = 0$

$5x = 21$

$x_2 = \frac{21}{5} = 4.2$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4.2$

2) $17x^2 - 5x = 14x^2 + 7x$

Перенесем все члены уравнения из правой части в левую:

$17x^2 - 14x^2 - 5x - 7x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(17-14)x^2 + (-5-7)x = 0$

$3x^2 - 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $3x$:

$3x(x - 4) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

или

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$

3) $10x + 7x^2 = 2x^2 + 8x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, расположив их по убыванию степеней $x$:

$7x^2 - 2x^2 + 10x - 8x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(7-2)x^2 + (10-8)x = 0$

$5x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x + 2) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$x_1 = 0$

или

$5x + 2 = 0$

$5x = -2$

$x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0.4$

4) $15x + 9x^2 = 7x^2 + 10x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$9x^2 - 7x^2 + 15x - 10x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(9-7)x^2 + (15-10)x = 0$

$2x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 5) = 0$

Приравняем каждый из множителей к нулю:

$x_1 = 0$

или

$2x + 5 = 0$

$2x = -5$

$x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2.5$

489. При каких значениях x значения данных дробей равны:

1) $ \frac{4x^2 - 3x}{3} $ и $ \frac{x^2 + 5x}{2} $;

2) $ \frac{3x^2 + 7x}{4} $ и $ \frac{7x^2 - 5x}{3} $?

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения данных дробей равны, необходимо приравнять их:

$\frac{4x^2 - 3x}{3} = \frac{x^2 + 5x}{2}$

Для решения данного уравнения воспользуемся свойством пропорции (правилом перекрестного умножения), умножив числитель первой дроби на знаменатель второй и числитель второй дроби на знаменатель первой:

$2(4x^2 - 3x) = 3(x^2 + 5x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$8x^2 - 6x = 3x^2 + 15x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные члены:

$8x^2 - 3x^2 - 6x - 15x = 0$

$5x^2 - 21x = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 21) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x_1 = 0$

или

$5x - 21 = 0$

$5x = 21$

$x_2 = \frac{21}{5} = 4,2$

Ответ: $0; 4,2$.

2) Аналогично приравняем вторые две дроби, чтобы найти соответствующие значения $x$:

$\frac{3x^2 + 7x}{4} = \frac{7x^2 - 5x}{3}$

Применим правило перекрестного умножения:

$3(3x^2 + 7x) = 4(7x^2 - 5x)$

Раскроем скобки:

$9x^2 + 21x = 28x^2 - 20x$

Перенесем все слагаемые в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, и приведем подобные члены:

$0 = 28x^2 - 9x^2 - 20x - 21x$

$19x^2 - 41x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(19x - 41) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

или

$19x - 41 = 0$

$19x = 41$

$x_2 = \frac{41}{19}$

Ответ: $0; \frac{41}{19}$.

490. Решить уравнение:

1) $x(x - 15) = 3(108 - 5x)$;

2) $(x - 7)(x + 3) + (x - 1)(x + 5) = 102$;

3) $(2x + 1)(x - 3) - (1 - x)(x - 5) = 29 - 11x$;

4) $(3x - 8)^2 - (4x - 6)^2 + (5x - 2)(5x + 2) = 96$.

1) $x(x - 15) = 3(108 - 5x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 15x = 324 - 15x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы собрать все слагаемые с переменной и без нее:
$x^2 - 15x + 15x - 324 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $-15x$ и $+15x$ взаимно уничтожаются:
$x^2 - 324 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$x^2 = 324$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня:
$x_1 = \sqrt{324} = 18$
$x_2 = -\sqrt{324} = -18$
Ответ: -18; 18.

2) $(x - 7)(x + 3) + (x - 1)(x + 5) = 102$
Раскроем скобки, перемножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(x^2 + 3x - 7x - 21) + (x^2 + 5x - x - 5) = 102$
Приведем подобные слагаемые внутри каждой из скобок:
$(x^2 - 4x - 21) + (x^2 + 4x - 5) = 102$
Теперь раскроем скобки и снова приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 4x - 21 + x^2 + 4x - 5 = 102$
$(x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (-21 - 5) = 102$
$2x^2 - 26 = 102$
Перенесем свободный член $-26$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x^2 = 102 + 26$
$2x^2 = 128$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 = 64$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x_1 = \sqrt{64} = 8$
$x_2 = -\sqrt{64} = -8$
Ответ: -8; 8.

3) $(2x + 1)(x - 3) - (1 - x)(x - 5) = 29 - 11x$
Раскроем скобки путем перемножения двучленов:
$(2x \cdot x + 2x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3)) - (1 \cdot x + 1 \cdot (-5) - x \cdot x - x \cdot (-5)) = 29 - 11x$
$(2x^2 - 6x + x - 3) - (x - 5 - x^2 + 5x) = 29 - 11x$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(2x^2 - 5x - 3) - (-x^2 + 6x - 5) = 29 - 11x$
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$2x^2 - 5x - 3 + x^2 - 6x + 5 = 29 - 11x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2x^2 + x^2) + (-5x - 6x) + (-3 + 5) = 29 - 11x$
$3x^2 - 11x + 2 = 29 - 11x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$3x^2 - 11x + 11x + 2 - 29 = 0$
$3x^2 - 27 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$3x^2 = 27$
Разделим обе части на 3:
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень:
$x_1 = \sqrt{9} = 3$
$x_2 = -\sqrt{9} = -3$
Ответ: -3; 3.

4) $(3x - 8)^2 - (4x - 6)^2 + (5x - 2)(5x + 2) = 96$
Используем формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Раскроем скобки:
$( (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 ) - ( (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 6 + 6^2 ) + ( (5x)^2 - 2^2 ) = 96$
$(9x^2 - 48x + 64) - (16x^2 - 48x + 36) + (25x^2 - 4) = 96$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$9x^2 - 48x + 64 - 16x^2 + 48x - 36 + 25x^2 - 4 = 96$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 16x^2 + 25x^2) + (-48x + 48x) + (64 - 36 - 4) = 96$
$18x^2 + 0 + 24 = 96$
$18x^2 + 24 = 96$
Перенесем свободный член в правую часть:
$18x^2 = 96 - 24$
$18x^2 = 72$
Разделим обе части уравнения на 18:
$x^2 = \frac{72}{18}$
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень:
$x_1 = \sqrt{4} = 2$
$x_2 = -\sqrt{4} = -2$
Ответ: -2; 2.

491. Найти число, квадрат которого равен удвоенному этому числу. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи введем переменную. Пусть искомое число — это $x$.

Найти число, квадрат которого равен удвоенному этому числу.

Согласно условию задачи, квадрат числа ($x^2$) должен быть равен удвоенному этому же числу ($2x$). Составим математическое уравнение, соответствующее этому условию:

$x^2 = 2x$

Это квадратное уравнение. Для его решения перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы получаем два возможных решения:

1) $x_1 = 0$

2) $x - 2 = 0$, что дает $x_2 = 2$

Проверим оба корня:

• Для $x=0$: $0^2 = 0$ и $2 \cdot 0 = 0$. Равенство $0=0$ верно.
• Для $x=2$: $2^2 = 4$ и $2 \cdot 2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют два числа: 0 и 2.

Ответ: 0 и 2.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два различных числа, которые являются решением уравнения, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

492. Найти число, квадрат которого, уменьшенный на 4, равен нулю. Сколько решений имеет задача?

Найти число, квадрат которого, уменьшенный на 4, равен нулю.
Пусть искомое число — это $x$. Переведем условие задачи на математический язык:

• Квадрат числа: $x^2$
• Квадрат числа, уменьшенный на 4: $x^2 - 4$
• Это выражение равно нулю: $x^2 - 4 = 0$

Теперь решим полученное неполное квадратное уравнение.
Перенесем число 4 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x^2 = 4$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{4}$
Отсюда получаем два решения:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$
Проверим оба корня:
Если число равно 2, то $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Верно.
Если число равно -2, то $(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Верно.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют два числа.
Ответ: 2 и -2.

Сколько решений имеет задача?
Поскольку в результате решения уравнения $x^2 - 4 = 0$ мы получили два различных корня ($x_1 = 2$ и $x_2 = -2$), это означает, что задача имеет два различных решения.
Ответ: Задача имеет два решения.

493. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$ (где $S$ — площадь, $R$ — радиус круга). На калькуляторе вычислить с точностью до 0,1 м диаметр цирковой арены, если её площадь составляет 2000 м².

Для решения задачи воспользуемся формулой площади круга $S = \pi R^2$ и связью между радиусом $R$ и диаметром $D$, которая выражается как $D = 2R$. По условию, площадь арены $S = 2000 \text{ м}^2$.

Сначала выразим радиус $R$ из формулы площади:

$R^2 = \frac{S}{\pi} \implies R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Диаметр $D$ в два раза больше радиуса, поэтому:

$D = 2R = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Теперь подставим известное значение площади $S = 2000$ и выполним вычисления на калькуляторе:

$D = 2\sqrt{\frac{2000}{\pi}} \approx 2\sqrt{636.61977...} \approx 2 \times 25.231325... \approx 50.46265... \text{ м}$

Согласно условию, результат необходимо округлить с точностью до $0,1$ м. В полученном значении $50.46265...$ вторая цифра после запятой — это 6. Так как $6 \ge 5$, округляем первую цифру после запятой в большую сторону.

$D \approx 50.5 \text{ м}$

Ответ: $50.5 \text{ м}$.

494. Решить уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0; $

2) $ \frac{2x + x^2}{x + 2} = 0. $

1) $ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0 $

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 9 = 0, \\ x - 3 \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим уравнение из системы:

$ x^2 - 9 = 0 $

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (x - 3)(x + 3) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ x - 3 = 0 $ или $ x + 3 = 0 $

$ x_1 = 3 $ или $ x_2 = -3 $

Теперь проверим эти корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ), которая определяется условием $ x - 3 \neq 0 $:

$ x \neq 3 $

Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $ x_2 = -3 $ удовлетворяет условию $ x \neq 3 $.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: -3

2) $ \frac{2x + x^2}{x + 2} = 0 $

Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$ \begin{cases} 2x + x^2 = 0, \\ x + 2 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$ x(2 + x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$ x_1 = 0 $ или $ 2 + x = 0 $

Из второго уравнения находим $ x_2 = -2 $.

Теперь учтем ОДЗ из второго условия системы:

$ x + 2 \neq 0 $

$ x \neq -2 $

Сравниваем найденные корни с ОДЗ. Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -2 $. Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 0