Страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Обосновать каждый этап решения уравнения $x(x+10)=24$ в задаче 1 текста параграфа.

Для решения уравнения $x(x+10)=24$ и обоснования каждого этапа необходимо выполнить последовательность алгебраических преобразований.

Этап 1: Раскрытие скобок

Первым шагом преобразуем левую часть уравнения, раскрыв скобки. Для этого используется распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит, что $a(b+c) = ab+ac$.

Применяем это свойство к нашему уравнению:

$x \cdot (x + 10) = x \cdot x + x \cdot 10$

В результате исходное уравнение $x(x+10)=24$ принимает вид:

$x^2 + 10x = 24$

Обоснование: Данный шаг основан на применении распределительного закона умножения, что является равносильным преобразованием выражения.

Этап 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Чтобы решить квадратное уравнение, его необходимо привести к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены уравнения в одну часть (в данном случае, в левую), вычитая 24 из обеих частей равенства.

$x^2 + 10x - 24 = 24 - 24$

$x^2 + 10x - 24 = 0$

Обоснование: Этот шаг является равносильным преобразованием. Согласно свойствам числовых равенств, если из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число, то получится верное равенство.

Этап 3: Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение $x^2 + 10x - 24 = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=10$, $c=-24$. Для нахождения его корней воспользуемся формулой через дискриминант.

1. Вычисляем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

3. Вычисляем корни ($x_1$ и $x_2$) по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Обоснование: Применение стандартных формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Этап 4: Проверка (необязательный, но рекомендуемый)

Чтобы убедиться в правильности найденных решений, подставим их в исходное уравнение $x(x+10)=24$.

• Проверка для $x=2$:
  $2(2+10) = 2 \cdot 12 = 24$. Равенство $24=24$ верно.
• Проверка для $x=-12$:
  $-12(-12+10) = -12 \cdot (-2) = 24$. Равенство $24=24$ верно.

Обоснование: Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению, следовательно, являются его корнями.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -12$.

2. Уравнение какого вида называют квадратным? Как называется каждый из коэффициентов этого уравнения?

Уравнение какого вида называют квадратным?

Квадратным уравнением, или уравнением второй степени, называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. В этом уравнении $x$ является переменной (неизвестной), а $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты. Обязательным условием для квадратного уравнения является то, что коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Если это условие не выполняется и $a = 0$, уравнение принимает вид $bx + c = 0$ и становится линейным.

Ответ: Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, $c$ — числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Как называется каждый из коэффициентов этого уравнения?

Коэффициенты в квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ имеют следующие общепринятые названия:

• Коэффициент $a$ называется первым или старшим коэффициентом. Он находится при члене с переменной во второй степени ($x^2$).
• Коэффициент $b$ называется вторым коэффициентом или коэффициентом при $x$. Он находится при члене с переменной в первой степени ($x$).
• Коэффициент $c$ называется свободным членом, поскольку он не связан с переменной $x$.

Ответ: В уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ коэффициент $a$ — это старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, а $c$ — свободный член.

3. Привести пример квадратного уравнения и назвать его коэффициенты.

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в общем виде как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — это переменная, а $a$, $b$ и $c$ — это числовые коэффициенты, причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Пример квадратного уравнения

Рассмотрим следующее уравнение: $2x^2 - 9x + 4 = 0$

Коэффициенты этого уравнения

Для определения коэффициентов сравним наш пример $2x^2 - 9x + 4 = 0$ с общей формой $ax^2 + bx + c = 0$:

Старший (или первый) коэффициент $a$ — это число, стоящее перед $x^2$. В нашем случае, $a = 2$.

Второй коэффициент $b$ — это число, стоящее перед $x$. В нашем случае, $b = -9$. Важно обращать внимание на знак, стоящий перед числом.

Свободный член $c$ — это число, которое не имеет при себе переменной $x$. В нашем случае, $c = 4$.

Ответ: Пример квадратного уравнения: $2x^2 - 9x + 4 = 0$. Его коэффициенты: $a = 2$, $b = -9$, $c = 4$.

4. Сколько корней имеет уравнение $x^2=d$, если $d>0$; $d=0$; $d<0$?

Для решения этого вопроса необходимо проанализировать уравнение $x^2=d$ в трех различных случаях, в зависимости от знака числа $d$.

d > 0

Если $d$ — положительное число ($d > 0$), то уравнение $x^2 = d$ имеет два различных действительных корня. Это происходит потому, что квадрат любого ненулевого числа положителен, и для каждого такого положительного числа $d$ существуют два числа (положительное и отрицательное), квадрат которых равен $d$. Эти корни можно найти, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{d}$

Таким образом, корнями являются $x_1 = \sqrt{d}$ и $x_2 = -\sqrt{d}$.

Например, для уравнения $x^2 = 25$, корнями будут $x = 5$ и $x = -5$.

Ответ: уравнение имеет два корня.

d = 0

Если $d=0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$.

Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль. Поэтому уравнение имеет только одно решение.

$x=0$

Этот корень иногда называют корнем кратности 2, но в данном контексте он считается одним решением.

Ответ: уравнение имеет один корень.

d < 0

Если $d$ — отрицательное число ($d < 0$), то уравнение $x^2 = d$ не имеет корней в множестве действительных чисел.

Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения ($x^2$) не может быть отрицательной, а правая часть ($d$) по условию отрицательна, равенство невозможно. Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, которое удовлетворяло бы этому уравнению.

Ответ: уравнение не имеет корней.

5. Назвать корни уравнения $x^2 = d$ при $d > 0$.

5. Дано уравнение $x^2 = d$, где $d$ — положительное число ($d > 0$).
Чтобы решить это уравнение, необходимо найти значения $x$, которые при возведении во вторую степень (в квадрат) дают в результате число $d$.
По определению, арифметический квадратный корень из положительного числа $d$, обозначаемый как $\sqrt{d}$, является таким неотрицательным числом, квадрат которого равен $d$. Таким образом, $x_1 = \sqrt{d}$ является одним из корней, так как $(\sqrt{d})^2 = d$.
Также следует учесть, что квадрат отрицательного числа является положительным. Если мы возьмем число, противоположное $\sqrt{d}$, то есть $-\sqrt{d}$, и возведем его в квадрат, мы получим:
$(-\sqrt{d})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{d})^2 = 1 \cdot d = d$.
Следовательно, $x_2 = -\sqrt{d}$ также является корнем уравнения.
Поскольку любое другое действительное число при возведении в квадрат не даст $d$, уравнение имеет ровно два корня.
Ответ: Корнями уравнения являются числа $\sqrt{d}$ и $-\sqrt{d}$.

6. Привести пример квадратного уравнения:

1) не имеющего действительных корней;

2) имеющего один корень;

3) имеющего два различных корня.

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет ровно один действительный корень (его также называют корнем кратности 2).
• Если дискриминант положительный ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня.

1) не имеющего действительных корней

Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо, чтобы его дискриминант был меньше нуля ($D < 0$).
Рассмотрим в качестве примера уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D = -3 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней, что и требовалось.
Ответ: $x^2 + x + 1 = 0$.

2) имеющего один корень

Для того чтобы уравнение имело один действительный корень, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю ($D = 0$).
Рассмотрим в качестве примера уравнение $x^2 - 10x + 25 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-10$, $c=25$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Этот корень можно найти по формуле $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$. Данное уравнение можно также записать как $(x-5)^2 = 0$.
Ответ: $x^2 - 10x + 25 = 0$.

3) имеющего два различных корня

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля ($D > 0$).
Рассмотрим в качестве примера уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
Ответ: $x^2 - 3x - 4 = 0$.