Номер 1, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 188.

Условие.

1. Обосновать каждый этап решения уравнения $x(x+10)=24$ в задаче 1 текста параграфа.

Решение 4.

Для решения уравнения $x(x+10)=24$ и обоснования каждого этапа необходимо выполнить последовательность алгебраических преобразований.

Этап 1: Раскрытие скобок

Первым шагом преобразуем левую часть уравнения, раскрыв скобки. Для этого используется распределительное свойство умножения относительно сложения, которое гласит, что $a(b+c) = ab+ac$.

Применяем это свойство к нашему уравнению:

$x \cdot (x + 10) = x \cdot x + x \cdot 10$

В результате исходное уравнение $x(x+10)=24$ принимает вид:

$x^2 + 10x = 24$

Обоснование: Данный шаг основан на применении распределительного закона умножения, что является равносильным преобразованием выражения.

Этап 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Чтобы решить квадратное уравнение, его необходимо привести к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого перенесем все члены уравнения в одну часть (в данном случае, в левую), вычитая 24 из обеих частей равенства.

$x^2 + 10x - 24 = 24 - 24$

$x^2 + 10x - 24 = 0$

Обоснование: Этот шаг является равносильным преобразованием. Согласно свойствам числовых равенств, если из обеих частей верного равенства вычесть одно и то же число, то получится верное равенство.

Этап 3: Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение $x^2 + 10x - 24 = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=10$, $c=-24$. Для нахождения его корней воспользуемся формулой через дискриминант.

1. Вычисляем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

3. Вычисляем корни ($x_1$ и $x_2$) по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Обоснование: Применение стандартных формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Этап 4: Проверка (необязательный, но рекомендуемый)

Чтобы убедиться в правильности найденных решений, подставим их в исходное уравнение $x(x+10)=24$.

• Проверка для $x=2$:
  $2(2+10) = 2 \cdot 12 = 24$. Равенство $24=24$ верно.
• Проверка для $x=-12$:
  $-12(-12+10) = -12 \cdot (-2) = 24$. Равенство $24=24$ верно.

Обоснование: Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному уравнению, следовательно, являются его корнями.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -12$.