Номер 16, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 16, страница 183.

Условие.

16. Решить уравнение $ \sqrt{(3x - 8)^2} = 8 - 3x $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Исходное уравнение:

$\sqrt{(3x-8)^2} = 8-3x$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$8 - 3x \ge 0$

Решим это неравенство:

$-3x \ge -8$

$3x \le 8$

$x \le \frac{8}{3}$

Таким образом, все решения уравнения должны удовлетворять условию $x \le \frac{8}{3}$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив его к левой части уравнения, получим:

$|3x - 8| = 8 - 3x$

Обратим внимание, что выражение в правой части, $8 - 3x$, является противоположным выражению под знаком модуля, $3x - 8$. То есть, $8 - 3x = -(3x - 8)$.

Пусть $A = 3x - 8$. Тогда наше уравнение принимает вид $|A| = -A$.

По определению абсолютной величины (модуля), равенство $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неположительно, то есть $A \le 0$.

В нашем случае это означает, что уравнение равносильно неравенству:

$3x - 8 \le 0$

Решим это неравенство:

$3x \le 8$

$x \le \frac{8}{3}$

Полученное множество решений $x \le \frac{8}{3}$ полностью совпадает с найденной ранее областью допустимых значений. Следовательно, решением уравнения является любой $x$, удовлетворяющий этому условию.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{8}{3}]$.