Номер 13, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 13, страница 183.

Условие.

13. Извлечь корень из произведения: $\sqrt{2x \cdot 5y \cdot 8x \cdot 20y}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи необходимо извлечь квадратный корень из произведения. Для этого сначала упростим выражение, находящееся под знаком корня.

Исходное выражение: $\sqrt{2x \cdot 5y \cdot 8x \cdot 20y}$.

Сгруппируем множители под корнем, объединив числовые коэффициенты и переменные:

$\sqrt{(2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 20) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)}$

Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 20 = 10 \cdot 160 = 1600$.

Упростим произведения переменных:

$x \cdot x = x^2$

$y \cdot y = y^2$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение под корнем:

$\sqrt{1600x^2y^2}$

Воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней из множителей: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (для неотрицательных $a, b, c$).

$\sqrt{1600 \cdot x^2 \cdot y^2} = \sqrt{1600} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^2}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt{1600} = 40$

$\sqrt{x^2} = |x|$. Знак модуля необходим, так как переменная $x$ может быть как положительной, так и отрицательной, а арифметический квадратный корень ($\sqrt{}$) по определению всегда дает неотрицательный результат.

$\sqrt{y^2} = |y|$. Аналогичное правило применяется и к переменной $y$.

Объединим полученные результаты, чтобы найти окончательное выражение:

$40 \cdot |x| \cdot |y| = 40|x||y|$

Важно заметить, что подкоренное выражение $1600x^2y^2$ всегда неотрицательно при любых действительных значениях $x$ и $y$, поэтому исходное выражение определено для всех $x, y \in \mathbb{R}$. Следовательно, использование модулей в ответе является обязательным для получения математически корректного общего решения.

Ответ: $40|x||y|$