Номер 8, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 8, страница 183.

Условие.

8. Упростить выражение:

а) $ \frac{5\sqrt{3}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-1}; $

б) $ (\sqrt{27}+\sqrt{12}+5)(1-\sqrt{3}); $

в) $ \frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2}; $

г) $ \frac{\sqrt{4(x-y)^2}}{x-y} $ при $ x<y. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{5\sqrt{3} - \sqrt{15}}{\sqrt{5} - 1}$, вынесем в числителе общий множитель за скобки. Заметим, что $\sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}\sqrt{3}$.
$5\sqrt{3} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{3}(5 - \sqrt{5})$.
Теперь в выражении $(5 - \sqrt{5})$ также можно вынести общий множитель $\sqrt{5}$, так как $5 = (\sqrt{5})^2$:
$5 - \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)$.
Подставим полученное выражение обратно в числитель:
$\sqrt{3}(5 - \sqrt{5}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{15}(\sqrt{5} - 1)$.
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{\sqrt{15}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1}$.
Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt{5} - 1)$:
$\frac{\sqrt{15}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \sqrt{15}$.
Ответ: $\sqrt{15}$

б) Для упрощения выражения $(\sqrt{27} + \sqrt{12} + 5)(1 - \sqrt{3})$, сначала упростим корни в первой скобке.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 5)(1 - \sqrt{3}) = (5\sqrt{3} + 5)(1 - \sqrt{3})$.
Вынесем общий множитель $5$ из первой скобки:
$5(\sqrt{3} + 1)(1 - \sqrt{3})$.
Чтобы применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, вынесем $-1$ из второй скобки:
$5(\sqrt{3} + 1)(-( \sqrt{3} - 1)) = -5(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$.
Теперь применяем формулу разности квадратов:
$-5((\sqrt{3})^2 - 1^2) = -5(3 - 1) = -5 \cdot 2 = -10$.
Ответ: $-10$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{3}}{(1 - \sqrt{2})^2}$, начнем с преобразования знаменателя и числителя.
Раскроем квадрат в знаменателе по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Теперь преобразуем числитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}$, и вынесем общий множитель $\sqrt{3}$:
$2\sqrt{6} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}(2\sqrt{2} - 3)$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{2} - 3)}{3 - 2\sqrt{2}}$.
Заметим, что выражение в скобках в числителе и выражение в знаменателе отличаются только знаком: $2\sqrt{2} - 3 = -(3 - 2\sqrt{2})$.
$\frac{\sqrt{3}(-(3 - 2\sqrt{2}))}{3 - 2\sqrt{2}}$.
Сократим дробь на $(3 - 2\sqrt{2})$:
$-\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt{4(x-y)^2}}{x-y}$ при условии $x < y$.
Сначала извлечем корень из числителя. Используем свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{a^2}=|a|$:
$\sqrt{4(x-y)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(x-y)^2} = 2|x-y|$.
Выражение принимает вид:
$\frac{2|x-y|}{x-y}$.
По условию $x < y$, следовательно, разность $x - y$ отрицательна: $x - y < 0$.
По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|a| = -a$ при $a < 0$.
Значит, $|x-y| = -(x-y)$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{2 \cdot (-(x-y))}{x-y} = \frac{-2(x-y)}{x-y}$.
Сокращаем дробь на $(x-y)$:
$-2$.
Ответ: $-2$