Номер 6, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 6, страница 183.

Условие.

6. Исключить иррациональность из знаменателя:

а) $\frac{5}{\sqrt{7}}$;

б) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $ \frac{5}{\sqrt{7}} $, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на $ \sqrt{7} $. Это действие основано на свойстве корня $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $, которое позволяет избавиться от знака корня в знаменателе.
Выполним преобразование:
$ \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} $
Таким образом, мы получили дробь с рациональным знаменателем.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{7}}{7} $

б) В данном случае в знаменателе находится сумма $ 2+\sqrt{3} $. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $ 2+\sqrt{3} $ является $ 2-\sqrt{3} $. При их перемножении используется формула разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
Выполним преобразование:
$ \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3} $
Таким образом, мы избавились от дроби, и знаменатель стал равен 1.
Ответ: $ 2-\sqrt{3} $