Номер 10, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 10, страница 183.

Условие.

10. Сократить дробь

$\frac{1-2\sqrt{x}+x}{x-1}$, если $x > 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $1 - 2\sqrt{x} + x$.
Это выражение является полным квадратом. Запишем его в более привычном виде: $x - 2\sqrt{x} + 1$.
Здесь $x$ можно представить как $(\sqrt{x})^2$, а $1$ как $1^2$. Таким образом, выражение принимает вид:
$(\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2$
Используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$, получаем:
$1 - 2\sqrt{x} + x = (\sqrt{x} - 1)^2$.

2. Разложим знаменатель: $x - 1$.
Это выражение представляет собой разность квадратов. Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $1$ как $1^2$.
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$, получаем:
$x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим.
$\frac{1 - 2\sqrt{x} + x}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 1)$. Это действие корректно, так как по условию $x > 1$, что означает $\sqrt{x} > 1$, и, следовательно, $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.
$\frac{(\sqrt{x} - 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(\sqrt{x} - 1)}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Ответ: $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$