Номер 15, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 15, страница 183.

Условие.

15. Исключить иррациональность из знаменателя:

a) $\frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $ \frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $ \sqrt{x+2}-3 $ является выражение $ \sqrt{x+2}+3 $.

Выполним умножение, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ для знаменателя:

$ \frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{(\sqrt{x+2})^2 - 3^2} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{x+2})^2 - 3^2 = (x+2) - 9 = x-7 $

Подставим полученный знаменатель обратно в выражение:

$ \frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{x-7} $

Сократим дробь на $ (x-7) $, при условии, что $ x-7 \neq 0 $, то есть $ x \neq 7 $ (при $ x=7 $ исходное выражение не определено).

$ \sqrt{x+2}+3 $

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: $ \sqrt{x+2}+3 $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{6+4\sqrt{2}}} $.

Для начала упростим сложное подкоренное выражение $ \sqrt{6+4\sqrt{2}} $. Попробуем представить выражение под корнем в виде полного квадрата, используя формулу $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

$ 6+4\sqrt{2} = 4 + 2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 2^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = (2+\sqrt{2})^2 $

Следовательно, корень из этого выражения равен:

$ \sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = 2+\sqrt{2} $

Теперь подставим упрощенное выражение в знаменатель исходной дроби:

$ \frac{2}{\sqrt{2} + (2+\sqrt{2})} = \frac{2}{2+2\sqrt{2}} $

Вынесем общий множитель $ 2 $ в знаменателе и сократим дробь:

$ \frac{2}{2(1+\sqrt{2})} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} $

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе $ 1+\sqrt{2} $, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 1-\sqrt{2} $:

$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1 $

Ответ: $ \sqrt{2}-1 $