Номер 6, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 6, страница 188.

Условие.

6. Привести пример квадратного уравнения:

1) не имеющего действительных корней;

2) имеющего один корень;

3) имеющего два различных корня.

Решение 4.

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет ровно один действительный корень (его также называют корнем кратности 2).
• Если дискриминант положительный ($D > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня.

1) не имеющего действительных корней

Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо, чтобы его дискриминант был меньше нуля ($D < 0$).
Рассмотрим в качестве примера уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=1$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Так как $D = -3 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней, что и требовалось.
Ответ: $x^2 + x + 1 = 0$.

2) имеющего один корень

Для того чтобы уравнение имело один действительный корень, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю ($D = 0$).
Рассмотрим в качестве примера уравнение $x^2 - 10x + 25 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-10$, $c=25$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень. Этот корень можно найти по формуле $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$. Данное уравнение можно также записать как $(x-5)^2 = 0$.
Ответ: $x^2 - 10x + 25 = 0$.

3) имеющего два различных корня

Для того чтобы уравнение имело два различных действительных корня, необходимо, чтобы его дискриминант был больше нуля ($D > 0$).
Рассмотрим в качестве примера уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
Ответ: $x^2 - 3x - 4 = 0$.