Номер 2, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 2, страница 189.

Условие.

2. Вычислить: $(\sqrt{7})^2$; $\sqrt{(-5)^2}$; $\sqrt{\frac{25}{49}}$; $\sqrt{36 \cdot 64}$.

Решение 4.

$(\sqrt{7})^2$

По определению арифметического квадратного корня, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$. Это означает, что возведение в квадрат и извлечение квадратного корня — взаимообратные операции. В данном случае $a=7$, следовательно: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Ответ: 7.

$\sqrt{(-5)^2}$

Согласно правилам выполнения математических операций, сначала вычислим выражение под корнем. Возведем $-5$ в квадрат: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$. Теперь извлечем квадратный корень из полученного результата: $\sqrt{25} = 5$.
Также можно воспользоваться тождеством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$. Применив его, получим: $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.

Ответ: 5.

$\sqrt{\frac{25}{49}}$

Для вычисления корня из дроби используется свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0$ и $b > 0$). Применим это свойство к нашему выражению, извлекая корень из числителя и знаменателя по отдельности:
$\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

$\sqrt{36 \cdot 64}$

Для вычисления корня из произведения используется свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0$ и $b \ge 0$). Это позволяет упростить вычисление, разбив его на два более простых действия:
$\sqrt{36 \cdot 64} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{64}$.
Теперь вычислим каждый корень: $\sqrt{36} = 6$ и $\sqrt{64} = 8$.
Перемножим результаты: $6 \cdot 8 = 48$.

Ответ: 48.