Номер 472, страница 189 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 472, страница 189.

Условие.

472. Какие из чисел -3, -2, 0, -1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

1) $x^2 - 9 = 0;$

2) $x^2 + x - 6 = 0;$

3) $(x - 1)(x + 2) = 0;$

4) $x^2 - x = 0;$

5) $x^2 - 5x + 6 = 0;$

6) $(x + 1)(x - 3) = x?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, какие из чисел из набора $\{-3, -2, 0, -1, 1, 2, 3\}$ являются корнями уравнений, решим каждое уравнение и сравним его корни с числами из данного набора.

1) $x^2 - 9 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $9$ в правую часть:
$x^2 = 9$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x_1 = \sqrt{9} = 3$
$x_2 = -\sqrt{9} = -3$
Оба корня, $3$ и $-3$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $-3, 3$.

2) $x^2 + x - 6 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Оба корня, $2$ и $-3$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $-3, 2$.

3) $(x - 1)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
или
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Оба корня, $1$ и $-2$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $-2, 1$.

4) $x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
или
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
Оба корня, $0$ и $1$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $0, 1$.

5) $x^2 - 5x + 6 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Оба корня, $2$ и $3$, содержатся в предложенном наборе чисел.
Ответ: $2, 3$.

6) $(x + 1)(x - 3) = x$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.
$x^2 - 3x + x - 3 = x$
$x^2 - 2x - 3 = x$
$x^2 - 3x - 3 = 0$
Найдем дискриминант, чтобы определить корни: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.
Поскольку дискриминант $D=21$ не является полным квадратом, корни уравнения $x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$ будут иррациональными числами. Следовательно, ни одно из целых чисел в предложенном наборе не является корнем этого уравнения.
Ответ: корней среди предложенных чисел нет.