Номер 479, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 479, страница 190.

Условие.

479. Решить уравнение:

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^2(x - 18) = 0;$

2) $(x + 1)(x^2 - x + 1) - x^2(x + 4) = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $(x-2)(x^2 + 2x + 4) - x^2(x - 18) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Выражение $(x-2)(x^2 + 2x + 4)$ является разностью кубов, где $a=x$ и $b=2$. Следовательно, это произведение равно $x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(x^3 - 8) - x^2(x - 18) = 0$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-x^2$ на каждый член в скобках:

$x^3 - 8 - x^3 + 18x^2 = 0$

Приведем подобные члены. Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$18x^2 - 8 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-8) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$18x^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 18:

$x^2 = \frac{8}{18}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x^2 = \frac{4}{9}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$

$x = \pm\frac{2}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$.

2) $(x+1)(x^2 - x + 1) - x^2(x + 4) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Выражение $(x+1)(x^2 - x + 1)$ является суммой кубов, где $a=x$ и $b=1$. Следовательно, это произведение равно $x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(x^3 + 1) - x^2(x + 4) = 0$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:

$x^3 + 1 - (x^3 + 4x^2) = 0$

$x^3 + 1 - x^3 - 4x^2 = 0$

Приведем подобные члены. Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$1 - 4x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем член с переменной в правую часть уравнения:

$1 = 4x^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{1}{4}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x = \pm\frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.