Номер 483, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 483, страница 190.

Условие.

483. Доказать, что если число $x_0$ — корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$ и $c \neq 0$, то число $\frac{1}{x_0}$ — корень уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По условию, число $x_0$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке $x_0$ вместо $x$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$ax_0^2 + bx_0 + c = 0$

В задаче указано, что $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Условие $a \neq 0$ означает, что исходное уравнение действительно является квадратным. Условие $c \neq 0$ гарантирует, что корень $x_0$ не может быть равен нулю. Докажем это от противного: если предположить, что $x_0 = 0$, то, подставив это значение в исходное уравнение, мы получим $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, что упрощается до $c = 0$. Это противоречит условию $c \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $x_0 \neq 0$. Это важно, так как обеспечивает, что выражение $\frac{1}{x_0}$ определено.

Нам нужно доказать, что число $\frac{1}{x_0}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Для этого мы возьмем исходное верное равенство $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$. Так как мы доказали, что $x_0 \neq 0$, то и $x_0^2 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $x_0^2$:

$\frac{ax_0^2 + bx_0 + c}{x_0^2} = \frac{0}{x_0^2}$

Разделив каждый член левой части на $x_0^2$, получим:

$\frac{ax_0^2}{x_0^2} + \frac{bx_0}{x_0^2} + \frac{c}{x_0^2} = 0$

После сокращения дробей равенство принимает вид:

$a + b\left(\frac{1}{x_0}\right) + c\left(\frac{1}{x_0^2}\right) = 0$

Поменяв слагаемые местами и переписав $\frac{1}{x_0^2}$ как $\left(\frac{1}{x_0}\right)^2$, получим:

$c\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 + b\left(\frac{1}{x_0}\right) + a = 0$

Это равенство показывает, что при подстановке $x = \frac{1}{x_0}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ оно обращается в верное тождество $0=0$. Следовательно, число $\frac{1}{x_0}$ является корнем этого уравнения.

Ответ: Что и требовалось доказать.