Номер 480, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 26. Квадратное уравнение и его корни. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 480, страница 190.

Условие.

480. Показать, что уравнения $x^2=4$ и $|x|=2$ имеют одни и те же корни.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы доказать, что уравнения $x^2=4$ и $|x|=2$ имеют одни и те же корни, необходимо найти корни каждого из этих уравнений и сравнить полученные множества решений.

Решение уравнения $x^2=4$
Это неполное квадратное уравнение. Для нахождения корней извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{4}$
Таким образом, уравнение имеет два корня:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$
Множество корней первого уравнения: $\{-2, 2\}$.

Решение уравнения $|x|=2$
Это уравнение с модулем. По определению модуля, равенство $|x|=a$ (где $a \ge 0$) выполняется, если $x=a$ или $x=-a$.
В нашем случае $a=2$, следовательно, получаем два корня:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$
Множество корней второго уравнения: $\{-2, 2\}$.

Сравнение результатов
Множество корней уравнения $x^2=4$ — это $\{-2, 2\}$.
Множество корней уравнения $|x|=2$ — это также $\{-2, 2\}$.
Поскольку множества корней обоих уравнений полностью совпадают, это доказывает, что уравнения имеют одни и те же корни.

Ответ: Корнями уравнения $x^2=4$ являются числа $2$ и $-2$. Корнями уравнения $|x|=2$ также являются числа $2$ и $-2$. Так как множества их корней идентичны, уравнения имеют одни и те же корни.