Страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

474. (Устно.) Решить уравнение:

1) $x^2=1$;

2) $x^2=9$;

3) $x^2=16$;

4) $x^2=25$;

5) $x^2=100$;

6) $x^2=0.

1) Чтобы решить уравнение $x^2 = 1$, необходимо найти число или числа, квадрат которых равен 1. Для этого нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, всегда имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{1}$
Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 1$
$x_2 = -1$
Проверка: $1^2 = 1$ и $(-1)^2 = 1$. Решение верно.
Ответ: $1; -1$.

2) Решим уравнение $x^2 = 9$. Для нахождения $x$ извлечем квадратный корень из 9.
$x = \pm\sqrt{9}$
Корни уравнения:
$x_1 = 3$
$x_2 = -3$
Проверка: $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Решение верно.
Ответ: $3; -3$.

3) Решим уравнение $x^2 = 16$. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из 16.
$x = \pm\sqrt{16}$
Корни уравнения:
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$
Проверка: $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$. Решение верно.
Ответ: $4; -4$.

4) Решим уравнение $x^2 = 25$. Для нахождения $x$ извлечем квадратный корень из 25.
$x = \pm\sqrt{25}$
Корни уравнения:
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$
Проверка: $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$. Решение верно.
Ответ: $5; -5$.

5) Решим уравнение $x^2 = 100$. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из 100.
$x = \pm\sqrt{100}$
Корни уравнения:
$x_1 = 10$
$x_2 = -10$
Проверка: $10^2 = 100$ и $(-10)^2 = 100$. Решение верно.
Ответ: $10; -10$.

6) Решим уравнение $x^2 = 0$. Уравнение вида $x^2 = 0$ имеет только один корень, так как единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам ноль.
$x = \sqrt{0}$
$x = 0$
Проверка: $0^2 = 0$. Решение верно.
Ответ: $0$.

475. Найти корни уравнения:

1) $x^2 = \frac{9}{16}$;

2) $x^2 = \frac{16}{49}$;

3) $x^2 = 1\frac{7}{9}$;

4) $x^2 = 2\frac{1}{4}$;

5) $x^2 = 5$;

6) $x^2 = 13$.

1) Дано уравнение $x^2 = \frac{9}{16}$. Для нахождения корней уравнения необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a \ge 0$, имеет два корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$, что записывается как $x = \pm\sqrt{a}$.
Применим это к нашему уравнению:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$
Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, получаем:
$x = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}$
$x = \pm\frac{3}{4}$
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{4}$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\pm\frac{3}{4}$

2) Дано уравнение $x^2 = \frac{16}{49}$. Решение аналогично предыдущему пункту. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{49}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}$
$x = \pm\frac{4}{7}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4}{7}$ и $x_2 = -\frac{4}{7}$.
Ответ: $\pm\frac{4}{7}$

3) Дано уравнение $x^2 = 1\frac{7}{9}$. В первую очередь, преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$
Теперь уравнение имеет вид $x^2 = \frac{16}{9}$. Извлекаем квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$
$x = \pm\frac{4}{3}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{4}{3}$ и $x_2 = -\frac{4}{3}$. Ответ можно также представить в виде смешанного числа $\pm 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $\pm\frac{4}{3}$

4) Дано уравнение $x^2 = 2\frac{1}{4}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Уравнение принимает вид $x^2 = \frac{9}{4}$. Найдем корни, извлекая квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$
$x = \pm\frac{3}{2}$
Корни уравнения: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$. Ответ можно также представить в виде десятичной дроби $\pm 1.5$ или смешанного числа $\pm 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $\pm\frac{3}{2}$

5) Дано уравнение $x^2 = 5$. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{5}$
Поскольку 5 не является точным квадратом целого числа, его корень — иррациональное число. В таком виде ответ и оставляют.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Ответ: $\pm\sqrt{5}$

6) Дано уравнение $x^2 = 13$. Аналогично предыдущему случаю, извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{13}$
Число 13 не является точным квадратом, поэтому корень из него — иррациональное число.
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Ответ: $\pm\sqrt{13}$

476. Решить уравнение:

1) $x^2 - 49 = 0;$

2) $x^2 - 121 = 0;$

3) $\frac{1}{3}x^2 = 0;$

4) $\frac{x^2}{5} = 0;$

5) $x^2 + 9 = 0;$

6) $x^2 + 12 = 0.$

1) $x^2 - 49 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Чтобы его решить, можно перенести свободный член в правую часть уравнения или разложить левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Способ 1: Перенос слагаемого

Перенесем -49 в правую часть, изменив знак:

$x^2 = 49$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что у положительного числа два квадратных корня — положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{49}$

$x_1 = 7, x_2 = -7$

Способ 2: Разложение на множители

Представим 49 как $7^2$ и применим формулу разности квадратов:

$x^2 - 7^2 = 0$

$(x - 7)(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 7 = 0$ или $x + 7 = 0$

$x_1 = 7$ или $x_2 = -7$

Ответ: $x = \pm 7$.

2) $x^2 - 121 = 0$

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Перенесем -121 в правую часть:

$x^2 = 121$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{121}$

$x_1 = 11, x_2 = -11$

Ответ: $x = \pm 11$.

3) $\frac{1}{3}x^2 = 0$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3 \cdot \frac{1}{3}x^2 = 3 \cdot 0$

$x^2 = 0$

Единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам ноль.

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

4) $\frac{x^2}{5} = 0$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot \frac{x^2}{5} = 5 \cdot 0$

$x^2 = 0$

Извлекая корень, получаем:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$.

5) $x^2 + 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$). Поскольку правая часть уравнения отрицательна (-9), а левая не может быть отрицательной, то уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет корней.

6) $x^2 + 12 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = -12$

Как и в предыдущем примере, квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

477. Решить квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители:

1) $x^2 - x = 0;$

2) $x^2 + 2x = 0;$

3) $3x^2 + 5x = 0;$

4) $5x^2 - 3x = 0;$

5) $x^2 - 4x + 4 = 0;$

6) $x^2 + 6x + 9 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - x = 0$.

Для решения разложим левую часть уравнения на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$

Из второго уравнения находим $x = 1$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

2) Дано уравнение $x^2 + 2x = 0$.

Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$:

$x(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 2 = 0$

Из второго уравнения находим $x = -2$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

3) Дано уравнение $3x^2 + 5x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $3x + 5 = 0$

Решаем второе уравнение: $3x = -5$, откуда $x = -5/3$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -5/3$.

4) Дано уравнение $5x^2 - 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $5x - 3 = 0$

Решаем второе уравнение: $5x = 3$, откуда $x = 3/5$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 3/5$.

5) Дано уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Левая часть уравнения является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=2$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$

Уравнение принимает вид:

$(x - 2)^2 = 0$

Это означает, что $x - 2 = 0$.

Отсюда находим единственный корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $x = 2$.

6) Дано уравнение $x^2 + 6x + 9 = 0$.

Левая часть уравнения является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=3$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$

Уравнение принимает вид:

$(x + 3)^2 = 0$

Это означает, что $x + 3 = 0$.

Отсюда находим единственный корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $x = -3$.

478. Вычислить приближённо с помощью калькулятора корни уравнения:

1) $x^2 = 7,12$;

2) $x^2 = 31$;

3) $x^2 = 0,4624$;

4) $x^2 = 675;

5) $x^2 - 9735 = 0$;

6) $x^2 - 0,021 = 0$.

1) Дано уравнение $x^2 = 7,12$.
Чтобы найти корни этого уравнения, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, правая часть уравнения (7,12) также должна быть неотрицательной, что выполняется. Уравнение имеет два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{7,12}$.
С помощью калькулятора вычислим приближенное значение $\sqrt{7,12}$: $\sqrt{7,12} \approx 2,6683328...$
Округлим результат до четырех знаков после запятой, получаем $2,6683$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 \approx 2,6683$ и $x_2 \approx -2,6683$.

Ответ: $x \approx \pm 2,6683$.

2) Дано уравнение $x^2 = 31$.
Корнями этого уравнения являются положительный и отрицательный квадратные корни из 31.
$x = \pm\sqrt{31}$.
Вычислим на калькуляторе приближенное значение $\sqrt{31}$: $\sqrt{31} \approx 5,5677643...$
Округлим до четырех знаков после запятой, получаем $5,5678$.
Следовательно, корни уравнения: $x_1 \approx 5,5678$ и $x_2 \approx -5,5678$.

Ответ: $x \approx \pm 5,5678$.

3) Дано уравнение $x^2 = 0,4624$.
Для нахождения корней извлечем квадратный корень из 0,4624.
$x = \pm\sqrt{0,4624}$.
Вычисление на калькуляторе дает точное значение: $\sqrt{0,4624} = 0,68$.
В этом случае приближение не требуется. Корни уравнения: $x_1 = 0,68$ и $x_2 = -0,68$.

Ответ: $x = \pm 0,68$.

4) Дано уравнение $x^2 = 675$.
Корни уравнения находятся как квадратные корни из 675.
$x = \pm\sqrt{675}$.
Используя калькулятор, находим: $\sqrt{675} \approx 25,980762...$
Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $25,9808$.
Приближенные значения корней: $x_1 \approx 25,9808$ и $x_2 \approx -25,9808$.

Ответ: $x \approx \pm 25,9808$.

5) Дано уравнение $x^2 - 9735 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, перенеся свободный член в правую часть:
$x^2 = 9735$.
Теперь найдем корни, извлекая квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{9735}$.
Вычислим значение на калькуляторе: $\sqrt{9735} \approx 98,666099...$
Округлим результат до четырех знаков после запятой: $98,6661$.
Приближенные корни уравнения: $x_1 \approx 98,6661$ и $x_2 \approx -98,6661$.

Ответ: $x \approx \pm 98,6661$.

6) Дано уравнение $x^2 - 0,021 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть, чтобы получить уравнение вида $x^2=c$:
$x^2 = 0,021$.
Решениями являются $x = \pm\sqrt{0,021}$.
С помощью калькулятора находим приближенное значение: $\sqrt{0,021} \approx 0,1449137...$
Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $0,1449$.
Корни уравнения: $x_1 \approx 0,1449$ и $x_2 \approx -0,1449$.

Ответ: $x \approx \pm 0,1449$.

479. Решить уравнение:

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^2(x - 18) = 0;$

2) $(x + 1)(x^2 - x + 1) - x^2(x + 4) = 0.$

1) $(x-2)(x^2 + 2x + 4) - x^2(x - 18) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Выражение $(x-2)(x^2 + 2x + 4)$ является разностью кубов, где $a=x$ и $b=2$. Следовательно, это произведение равно $x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(x^3 - 8) - x^2(x - 18) = 0$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-x^2$ на каждый член в скобках:

$x^3 - 8 - x^3 + 18x^2 = 0$

Приведем подобные члены. Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$18x^2 - 8 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-8) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$18x^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 18:

$x^2 = \frac{8}{18}$

Сократим полученную дробь на 2:

$x^2 = \frac{4}{9}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$

$x = \pm\frac{2}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$.

2) $(x+1)(x^2 - x + 1) - x^2(x + 4) = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Выражение $(x+1)(x^2 - x + 1)$ является суммой кубов, где $a=x$ и $b=1$. Следовательно, это произведение равно $x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(x^3 + 1) - x^2(x + 4) = 0$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:

$x^3 + 1 - (x^3 + 4x^2) = 0$

$x^3 + 1 - x^3 - 4x^2 = 0$

Приведем подобные члены. Члены $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$1 - 4x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем член с переменной в правую часть уравнения:

$1 = 4x^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = \frac{1}{4}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x = \pm\frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

480. Показать, что уравнения $x^2=4$ и $|x|=2$ имеют одни и те же корни.

Чтобы доказать, что уравнения $x^2=4$ и $|x|=2$ имеют одни и те же корни, необходимо найти корни каждого из этих уравнений и сравнить полученные множества решений.

Решение уравнения $x^2=4$
Это неполное квадратное уравнение. Для нахождения корней извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{4}$
Таким образом, уравнение имеет два корня:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$
Множество корней первого уравнения: $\{-2, 2\}$.

Решение уравнения $|x|=2$
Это уравнение с модулем. По определению модуля, равенство $|x|=a$ (где $a \ge 0$) выполняется, если $x=a$ или $x=-a$.
В нашем случае $a=2$, следовательно, получаем два корня:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$
Множество корней второго уравнения: $\{-2, 2\}$.

Сравнение результатов
Множество корней уравнения $x^2=4$ — это $\{-2, 2\}$.
Множество корней уравнения $|x|=2$ — это также $\{-2, 2\}$.
Поскольку множества корней обоих уравнений полностью совпадают, это доказывает, что уравнения имеют одни и те же корни.

Ответ: Корнями уравнения $x^2=4$ являются числа $2$ и $-2$. Корнями уравнения $|x|=2$ также являются числа $2$ и $-2$. Так как множества их корней идентичны, уравнения имеют одни и те же корни.

481. Найти такое положительное число $b$, чтобы левая часть уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и решить полученное уравнение:

1) $x^2 + bx + 4 = 0;$

2) $x^2 - bx + 9 = 0;$

3) $x^2 - 8x + b = 0;$

4) $x^2 + \frac{2}{3}x + b = 0.$

1) Рассматриваем уравнение $x^2 + bx + 4 = 0$. Чтобы левая часть была квадратом суммы или разности, она должна соответствовать формуле полного квадрата: $(a \pm c)^2 = a^2 \pm 2ac + c^2$.
В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Свободный член равен 4, значит $c^2 = 4$, откуда $c=2$.
Средний член $bx$ должен быть равен $\pm 2ac = \pm 2 \cdot x \cdot 2 = \pm 4x$.
По условию $b$ — положительное число. Следовательно, мы выбираем знак плюс, что соответствует формуле квадрата суммы $(x+c)^2 = x^2 + 2cx + c^2$.
$bx = 4x$, откуда получаем $b=4$.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 + 4x + 4 = 0$
Сворачиваем левую часть по формуле квадрата суммы:
$(x+2)^2 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$
Ответ: $b=4, x=-2$.

2) Рассматриваем уравнение $x^2 - bx + 9 = 0$. Левая часть должна соответствовать формуле полного квадрата $(x \pm c)^2 = x^2 \pm 2cx + c^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Свободный член равен 9, значит $c^2 = 9$, откуда $c=3$.
Средний член $-bx$ должен быть равен $\pm 2ac = \pm 2 \cdot x \cdot 3 = \pm 6x$.
Так как по условию $b$ — положительное число, то $-b$ — отрицательное. Следовательно, мы выбираем знак минус, что соответствует формуле квадрата разности $(x-c)^2 = x^2 - 2cx + c^2$.
$-bx = -2cx = -6x$, откуда получаем $b=6$.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Сворачиваем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x-3)^2 = 0$
$x-3 = 0$
$x = 3$
Ответ: $b=6, x=3$.

3) Рассматриваем уравнение $x^2 - 8x + b = 0$. Левая часть должна соответствовать формуле полного квадрата $(x \pm c)^2 = x^2 \pm 2cx + c^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Средний член равен $-8x$.
Приравниваем его к члену $\pm 2ac = \pm 2xc$. Так как коэффициент $-8$ отрицательный, выбираем знак минус:
$-8x = -2xc$
$8 = 2c$, откуда $c=4$.
Свободный член $b$ должен быть равен $c^2$.
$b = c^2 = 4^2 = 16$.
Значение $b=16$ положительное, что соответствует условию.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 - 8x + 16 = 0$
$(x-4)^2 = 0$
$x-4 = 0$
$x = 4$
Ответ: $b=16, x=4$.

4) Рассматриваем уравнение $x^2 + \frac{2}{3}x + b = 0$. Левая часть должна соответствовать формуле полного квадрата $(x \pm c)^2 = x^2 \pm 2cx + c^2$.
Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Средний член равен $\frac{2}{3}x$.
Приравниваем его к члену $\pm 2ac = \pm 2xc$. Так как коэффициент $\frac{2}{3}$ положительный, выбираем знак плюс:
$\frac{2}{3}x = 2xc$
$\frac{2}{3} = 2c$, откуда $c = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.
Свободный член $b$ должен быть равен $c^2$.
$b = c^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Значение $b=\frac{1}{9}$ положительное, что соответствует условию.
Подставляем найденное значение $b$ в исходное уравнение и решаем его:
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0$
$(x+\frac{1}{3})^2 = 0$
$x+\frac{1}{3} = 0$
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $b=\frac{1}{9}, x=-\frac{1}{3}$.

482. Решить уравнение:

1) $x^2 + 4x + 3 = 0$;

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$.

1) $x^2 + 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=3$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3; -1.

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$

Это также квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=3$, $c=2$.

Вычисляем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: -2; -1.

483. Доказать, что если число $x_0$ — корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$ и $c \neq 0$, то число $\frac{1}{x_0}$ — корень уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

По условию, число $x_0$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке $x_0$ вместо $x$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$ax_0^2 + bx_0 + c = 0$

В задаче указано, что $a \neq 0$ и $c \neq 0$. Условие $a \neq 0$ означает, что исходное уравнение действительно является квадратным. Условие $c \neq 0$ гарантирует, что корень $x_0$ не может быть равен нулю. Докажем это от противного: если предположить, что $x_0 = 0$, то, подставив это значение в исходное уравнение, мы получим $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, что упрощается до $c = 0$. Это противоречит условию $c \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $x_0 \neq 0$. Это важно, так как обеспечивает, что выражение $\frac{1}{x_0}$ определено.

Нам нужно доказать, что число $\frac{1}{x_0}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Для этого мы возьмем исходное верное равенство $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$. Так как мы доказали, что $x_0 \neq 0$, то и $x_0^2 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $x_0^2$:

$\frac{ax_0^2 + bx_0 + c}{x_0^2} = \frac{0}{x_0^2}$

Разделив каждый член левой части на $x_0^2$, получим:

$\frac{ax_0^2}{x_0^2} + \frac{bx_0}{x_0^2} + \frac{c}{x_0^2} = 0$

После сокращения дробей равенство принимает вид:

$a + b\left(\frac{1}{x_0}\right) + c\left(\frac{1}{x_0^2}\right) = 0$

Поменяв слагаемые местами и переписав $\frac{1}{x_0^2}$ как $\left(\frac{1}{x_0}\right)^2$, получим:

$c\left(\frac{1}{x_0}\right)^2 + b\left(\frac{1}{x_0}\right) + a = 0$

Это равенство показывает, что при подстановке $x = \frac{1}{x_0}$ в уравнение $cx^2 + bx + a = 0$ оно обращается в верное тождество $0=0$. Следовательно, число $\frac{1}{x_0}$ является корнем этого уравнения.

Ответ: Что и требовалось доказать.