Страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какое квадратное уравнение называется неполным?

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная; $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Если бы $a=0$, уравнение стало бы линейным.

Когда все три коэффициента ($a$, $b$ и $c$) отличны от нуля, уравнение называется полным квадратным уравнением.

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего ($a$), равен нулю. То есть, это уравнение, в котором либо коэффициент $b$ равен нулю, либо свободный член $c$ равен нулю, либо они оба равны нулю.

Выделяют три вида неполных квадратных уравнений:

1. Если коэффициент $b = 0$ (а $c \neq 0$), уравнение принимает вид: $ax^2 + c = 0$.
   Пример: $2x^2 - 8 = 0$.
2. Если свободный член $c = 0$ (а $b \neq 0$), уравнение принимает вид: $ax^2 + bx = 0$.
   Пример: $5x^2 + 10x = 0$.
3. Если и коэффициент $b = 0$, и свободный член $c = 0$, уравнение принимает вид: $ax^2 = 0$.
   Пример: $3x^2 = 0$.

Ответ: Неполным называется квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю.

2. Привести пример квадратного уравнения, у которого равен нулю:

1) второй коэффициент;

2) свободный член.

1) второй коэффициент
Общий вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ является старшим коэффициентом ($a \neq 0$), $b$ — вторым коэффициентом, а $c$ — свободным членом. Условие, что второй коэффициент равен нулю, означает, что $b=0$. Такое уравнение называется неполным квадратным уравнением и принимает вид $ax^2 + c = 0$.
В качестве примера можно взять уравнение, где $a=2$ и $c=-32$.
Ответ: $2x^2 - 32 = 0$

2) свободный член
Если в квадратном уравнении вида $ax^2 + bx + c = 0$ свободный член равен нулю, то есть $c=0$, то уравнение также становится неполным и принимает вид $ax^2 + bx = 0$.
В качестве примера можно взять уравнение, где $a=3$ и $b=15$.
Ответ: $3x^2 + 15x = 0$

3. Какие свойства уравнений применялись при решении уравнения в задаче 2?

Поскольку текст задачи 2 не предоставлен, невозможно точно указать, какие именно свойства уравнений были использованы при ее решении. Однако, при решении большинства стандартных алгебраических уравнений, как правило, применяются следующие основные свойства и основанные на них преобразования:

• Свойство переноса слагаемых

  Это свойство позволяет переносить любое слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Фактически, это является следствием основного свойства равенств: если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное равенство.

  Формально: если $a = b$, то $a + c = b + c$. Из этого следует, что $a - c = b$.

  Пример: В уравнении $3x + 7 = 16$ можно перенести слагаемое 7 из левой части в правую, изменив его знак. Получим $3x = 16 - 7$.

• Свойство умножения и деления

  Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится уравнение, равносильное исходному.

  Формально: если $a = b$ и $c \neq 0$, то $a \cdot c = b \cdot c$ и $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$.

  Пример: В уравнении $3x = 9$ можно разделить обе части на 3, чтобы найти $x$. Получим $\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}$, откуда $x=3$.

• Раскрытие скобок (распределительное свойство умножения)

  Это свойство используется для упрощения выражений, содержащих скобки. Оно гласит, что для умножения числа на сумму (или разность) нужно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить (или вычесть).

  Формально: $c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$.

  Пример: В уравнении $5(x - 2) = 15$ сначала раскрывают скобки: $5x - 10 = 15$.

• Приведение подобных слагаемых

  Это упрощение выражения путем сложения или вычитания коэффициентов у слагаемых с одинаковой буквенной частью. Это также является применением распределительного свойства в обратную сторону.

  Формально: $a \cdot x + b \cdot x = (a + b) \cdot x$.

  Пример: В уравнении $7x - 4x + 5 = 11$ сначала приводят подобные слагаемые в левой части: $(7 - 4)x + 5 = 11$, что дает $3x + 5 = 11$.

Ответ: Вероятнее всего, при решении уравнения в задаче 2 применялись следующие свойства и преобразования: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое число, раскрытие скобок (распределительное свойство) и приведение подобных слагаемых.

4. Почему не имеет корней уравнение в задаче 3?

Поскольку уравнение из задачи 3 не представлено, невозможно дать точный ответ, почему именно оно не имеет корней. Однако мы можем рассмотреть общие причины, по которым уравнение может не иметь решений в области действительных чисел. Обычно это связано с основными свойствами функций и математических операций.

1. Несоответствие областей значений левой и правой частей уравнения

Это одна из самых частых причин отсутствия корней. Она возникает, когда одна часть уравнения по своей природе не может быть равна другой. Рассмотрим несколько конкретных случаев.

а) Выражение в четной степени или под знаком модуля равно отрицательному числу

Квадрат любого действительного числа, как и любое выражение в четной степени ($x^2, x^4, ...$), всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Аналогично, модуль числа ($|x|$) по определению неотрицателен. Если такое выражение приравнивается к строго отрицательному числу, уравнение не имеет решений.

Пример 1: $x^2 = -9$.

Нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным. Левая часть ($x^2$) всегда $\ge 0$, а правая часть ($-9$) отрицательна. Равенство невозможно.

Пример 2: $|2x - 5| + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $|2x - 5| = -1$. Модуль числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней, если выражение, которое по определению является неотрицательным (модуль, четная степень), приравнивается к отрицательному числу.

б) Арифметический корень четной степени равен отрицательному числу

Арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$), как и любой корень четной степени ($\sqrt[4]{a}, \sqrt[6]{a}, ...$), по определению является неотрицательным числом. Поэтому уравнение, в котором такой корень приравнивается к отрицательному числу, не имеет решений.

Пример: $\sqrt{x + 2} = -4$.

Левая часть ($\sqrt{x+2}$) для любого допустимого значения $x$ должна быть неотрицательной. Правая часть равна -4. Так как неотрицательное число не может равняться отрицательному, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение вида $\sqrt[2n]{f(x)} = c$, где $n \in \mathbb{N}$ и $c < 0$, не имеет действительных корней.

в) Значение функции выходит за пределы ее области значений

Некоторые функции могут принимать значения только из определенного промежутка. Если в уравнении такая функция приравнивается к числу, не входящему в ее область значений, то корней нет.

Пример 1 (тригонометрия): $\cos(x) = 2$.

Область значений функции $y = \cos(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Значение 2 не входит в этот отрезок, следовательно, уравнение не имеет решений.

Пример 2 (показательная функция): $5^x = -1$.

Область значений показательной функции $y = a^x$ (при $a > 0$) — это интервал $(0; +\infty)$. Она может быть сколь угодно близкой к нулю, но никогда не бывает отрицательной или равной нулю. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней, если одна его часть представляет собой функцию с ограниченной областью значений, а другая часть — число, не входящее в эту область.

2. Квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Если $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней, так как формула корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ содержит операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, что невозможно в множестве действительных чисел.

Пример: $2x^2 - 3x + 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Поскольку $D = -23 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант меньше нуля.

3. Посторонние корни, не входящие в Область допустимых значений (ОДЗ)

Иногда в процессе решения уравнения (например, дробно-рационального или иррационального) мы выполняем преобразования, которые могут привести к появлению "посторонних" корней. Если все найденные корни оказываются посторонними, то исходное уравнение не имеет решений.

Пример: $\frac{x^2}{x - 5} = \frac{25}{x - 5}$.

Сначала определим ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю, т.е. $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

Приравняем числители: $x^2 = 25$. Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Теперь проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -5$ удовлетворяет условию $x \neq 5$. А вот корень $x = 5$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Так как после отсеивания посторонних корней у нас остался один корень ($x = -5$), то у этого уравнения есть решение.

Пример без корней: $\frac{x^2 - 2x}{x-2} = 2$.

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Решаем: $\frac{x(x-2)}{x-2} = 2$. Сокращая на $(x-2)$, получаем $x=2$. Но этот единственный найденный корень не входит в ОДЗ. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней, если все найденные в процессе решения кандидаты в корни не удовлетворяют области допустимых значений исходного уравнения.

5. На чём основана идея решения уравнения в задаче 4?

Идея решения уравнения, о котором идет речь, с высокой вероятностью основана на анализе свойств функций, образующих левую и правую части уравнения. Наиболее часто в таких задачах применяется метод оценки (или метод мажорант), который использует свойство ограниченности функций.

Суть метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение вида $f(x) = g(x)$. Если удается найти такое число $M$, что для всех допустимых значений $x$ одновременно выполняются два условия:
1) значение левой части не превышает $M$, то есть $f(x) \le M$;
2) значение правой части не меньше $M$, то есть $g(x) \ge M$.
Тогда равенство $f(x) = g(x)$ может выполняться только в том случае, когда обе части уравнения равны числу $M$. Таким образом, решение исходного уравнения сводится к поиску решений системы уравнений:

$f(x) = M$

$g(x) = M$

Решениями исходного уравнения будут только те значения $x$, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы одновременно.

Рассмотрим применение этого метода на гипотетическом примере, который мог быть в задаче 4: решить уравнение $\cos(2\pi x) = x^2 - 2x + 2$.

Сначала оценим левую часть уравнения: $f(x) = \cos(2\pi x)$. Функция косинуса ограничена, её значения всегда находятся в отрезке $[-1, 1]$. Следовательно, $f(x) \le 1$.

Теперь оценим правую часть: $g(x) = x^2 - 2x + 2$. Это квадратичная функция. Чтобы найти её наименьшее значение, выделим полный квадрат: $g(x) = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение правой части равно 1, то есть $g(x) \ge 1$.

Итак, мы получили, что левая часть уравнения $\cos(2\pi x) \le 1$, а правая часть $(x-1)^2 + 1 \ge 1$. Равенство между ними возможно только тогда, когда обе части равны 1. Это приводит к системе двух уравнений:

$\cos(2\pi x) = 1$

$(x-1)^2 + 1 = 1$

Решим второе уравнение: $(x-1)^2 = 0$, откуда $x=1$.

Теперь необходимо проверить, является ли $x=1$ решением первого уравнения. Подставляем: $\cos(2\pi \cdot 1) = \cos(2\pi) = 1$. Равенство верное.

Поскольку $x=1$ является решением обоих уравнений системы, это единственное решение исходного уравнения.

Другой возможной идеей мог быть анализ монотонности функций. Если одна часть уравнения является строго возрастающей функцией, а другая — строго убывающей, то уравнение может иметь не более одного корня.

Ответ: Идея решения уравнения основана на методе оценки. Этот метод заключается в нахождении границ (максимального значения для одной части уравнения и минимального для другой). Если эти границы совпадают (например, $f(x) \le M$ и $g(x) \ge M$), то решение уравнения сводится к нахождению таких значений $x$, при которых обе части уравнения одновременно достигают этого граничного значения $M$.

1. Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

1) $3x^2 - 5x + 6 = 0$;

2) $3x^2 - 5x = 0$;

3) $3x^2 + 6 = 0$.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ и $b$ – это коэффициенты при степенях переменной $x$, а $c$ – это свободный член (константа).

1) Рассматриваем уравнение $3x^2 - 5x + 6 = 0$.
Сравнивая его с общей формой $ax^2 + bx + c = 0$, мы определяем:
- Старший коэффициент (при $x^2$): $a = 3$.
- Второй коэффициент (при $x$): $b = -5$.
- Свободный член: $c = 6$.
Ответ: коэффициенты $a=3$, $b=-5$; свободный член $c=6$.

2) Рассматриваем уравнение $3x^2 - 5x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член. Для приведения к стандартному виду мы можем записать его как $3x^2 - 5x + 0 = 0$. Отсюда:
- Старший коэффициент: $a = 3$.
- Второй коэффициент: $b = -5$.
- Свободный член: $c = 0$.
Ответ: коэффициенты $a=3$, $b=-5$; свободный член $c=0$.

3) Рассматриваем уравнение $3x^2 + 6 = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует слагаемое с $x$ в первой степени. Для приведения к стандартному виду мы можем записать его как $3x^2 + 0 \cdot x + 6 = 0$. Отсюда:
- Старший коэффициент: $a = 3$.
- Второй коэффициент: $b = 0$.
- Свободный член: $c = 6$.
Ответ: коэффициенты $a=3$, $b=0$; свободный член $c=6$.

2. Какое из чисел $\frac{2}{3}$, $-1$, $-\sqrt{2}$, $0$ является корнем уравнения:

1) $x^2 - 1 = 0$;

2) $x^2 = 2$;

3) $x^2 - \frac{4}{9} = 0$;

4) $x^2 - x = 0$?

Чтобы найти, какое из чисел является корнем каждого уравнения, нужно либо решить уравнение и сравнить корни с предложенными числами, либо подставить каждое из чисел ($\frac{2}{3}, -1, -\sqrt{2}, 0$) в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $x^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{1} = 1$ и $x_2 = -\sqrt{1} = -1$.

Из предложенных чисел ($\frac{2}{3}, -1, -\sqrt{2}, 0$) корнем является число $-1$.

Проверка подстановкой: $(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

2) $x^2 = 2$

Корнями этого уравнения являются числа, квадрат которых равен 2. Это $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Из предложенных чисел ($\frac{2}{3}, -1, -\sqrt{2}, 0$) корнем является число $-\sqrt{2}$.

Проверка подстановкой: $(-\sqrt{2})^2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

3) $x^2 - \frac{4}{9} = 0$

Перенесем $\frac{4}{9}$ в правую часть уравнения:

$x^2 = \frac{4}{9}$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$.

Из предложенных чисел ($\frac{2}{3}, -1, -\sqrt{2}, 0$) корнем является число $\frac{2}{3}$.

Проверка подстановкой: $(\frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9} = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = 0$. Равенство верное.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) $x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x - 1 = 0$, откуда $x_2 = 1$.

Корнями этого уравнения являются числа $0$ и $1$.

Из предложенных чисел ($\frac{2}{3}, -1, -\sqrt{2}, 0$) корнем является число $0$.

Проверка подстановкой: $0^2 - 0 = 0 - 0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $0$.

3. Решить уравнение:

1) $x^2=49$;

2) $x^2=-100$;

3) $x^2=0$;

4) $x^2=17$;

5) $x(x-2)=0.$

1) Дано уравнение $x^2 = 49$.
Чтобы найти значение $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{49}$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 7$
$x_2 = -7$
Проверка: $7^2 = 49$ и $(-7)^2 = 49$. Оба корня подходят.
Ответ: $x_1=7, x_2=-7$.

2) Дано уравнение $x^2 = -100$.
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. В правой части уравнения находится отрицательное число (-100).
Так как неотрицательное число ($x^2$) не может быть равно отрицательному числу (-100), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: корней нет.

3) Дано уравнение $x^2 = 0$.
Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль.
$x = \sqrt{0}$
$x = 0$
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $x=0$.

4) Дано уравнение $x^2 = 17$.
Как и в первом случае, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. Число 17 не является полным квадратом, поэтому его корень будет иррациональным числом.
$x = \pm\sqrt{17}$
Получаем два корня:
$x_1 = \sqrt{17}$
$x_2 = -\sqrt{17}$
Ответ: $x_1=\sqrt{17}, x_2=-\sqrt{17}$.

5) Дано уравнение $x(x-2) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В данном уравнении множителями являются $x$ и $(x-2)$.
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:
1) $x = 0$
2) $x - 2 = 0 \implies x = 2$
Таким образом, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: $x_1=0, x_2=2$.

Решить уравнение (484—488).

484. 1) $-x^2 = 0;$ 2) $3x^2 = 0;$ 3) $5x^2 = 125;$ 4) $9x^2 = 81;$

5) $4x^2 - 64 = 0;$ 6) $x^2 - 27 = 0;$ 7) $4x^2 = 81;$ 8) $0.01x^2 = 4.$

1) Для решения уравнения $-x^2 = 0$ умножим обе части на $-1$. Получаем уравнение $x^2 = 0$. Квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Таким образом, $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

2) В уравнении $3x^2 = 0$ разделим обе части на 3. Получаем $x^2 = \frac{0}{3}$, что равносильно $x^2 = 0$. Единственное число, квадрат которого равен нулю, это 0. Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

3) Решим уравнение $5x^2 = 125$. Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 5: $x^2 = \frac{125}{5}$, то есть $x^2 = 25$. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{25}$ и $x = -\sqrt{25}$. Таким образом, $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

4) В уравнении $9x^2 = 81$ разделим обе части на 9: $x^2 = \frac{81}{9}$, откуда получаем $x^2 = 9$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два решения: $x = \pm\sqrt{9}$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 3$.

5) Для решения уравнения $4x^2 - 64 = 0$ перенесем свободный член в правую часть: $4x^2 = 64$. Затем разделим обе части на 4: $x^2 = \frac{64}{4}$, что дает $x^2 = 16$. Извлекая квадратный корень, получаем два корня: $x = \pm\sqrt{16}$. Следовательно, $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 4$.

6) Решим уравнение $x^2 - 27 = 0$. Перенесем 27 в правую часть уравнения: $x^2 = 27$. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{27}$. Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 3\sqrt{3}$ и $x_2 = -3\sqrt{3}$.
Ответ: $x_1 = -3\sqrt{3}, x_2 = 3\sqrt{3}$.

7) В уравнении $4x^2 = 81$ разделим обе части на 4, чтобы выразить $x^2$: $x^2 = \frac{81}{4}$. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \pm\sqrt{\frac{81}{4}}$. Так как $\sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}} = \frac{9}{2}$, получаем два корня: $x_1 = \frac{9}{2}$ (или 4,5) и $x_2 = -\frac{9}{2}$ (или -4,5).
Ответ: $x_1 = -4.5, x_2 = 4.5$.

8) Решим уравнение $0.01x^2 = 4$. Разделим обе части уравнения на $0.01$: $x^2 = \frac{4}{0.01}$. Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно записать $0.01$ как $\frac{1}{100}$. Тогда $x^2 = \frac{4}{1/100} = 4 \cdot 100 = 400$. Извлекая квадратный корень, находим решения: $x = \pm\sqrt{400}$. Так как $\sqrt{400} = 20$, корни уравнения равны $x_1 = 20$ и $x_2 = -20$.
Ответ: $x_1 = -20, x_2 = 20$.

485. 1) $x^2 - 7x = 0;$

2) $x^2 + 5x = 0;$

3) $5x^2 = 3x;$

4) $4x^2 = 0,16x;$

5) $9x^2 - x = 0;$

6) $9x^2 + 1 = 0.$

1) $x^2 - 7x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

или

$x - 7 = 0$, откуда $x_2 = 7$.

Ответ: $0; 7$.

2) $x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:

$x_1 = 0$

или

$x + 5 = 0$, откуда $x_2 = -5$.

Ответ: $0; -5$.

3) $5x^2 = 3x$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$5x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 3) = 0$

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$5x - 3 = 0$, откуда $5x = 3$ и, следовательно, $x_2 = \frac{3}{5}$.

Ответ: $0; \frac{3}{5}$.

4) $4x^2 = 0,16x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$4x^2 - 0,16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x - 0,16) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$4x - 0,16 = 0$, откуда $4x = 0,16$ и, следовательно, $x_2 = \frac{0,16}{4} = 0,04$.

Ответ: $0; 0,04$.

5) $9x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$9x - 1 = 0$, откуда $9x = 1$ и, следовательно, $x_2 = \frac{1}{9}$.

Ответ: $0; \frac{1}{9}$.

6) $9x^2 + 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Попробуем выделить $x^2$:

$9x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{9}$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку в правой части уравнения стоит отрицательное число, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет.

486. 1) $4x^2 - 169 = 0;$

2) $25 - 16x^2 = 0;$

3) $2x^2 - 16 = 0;$

4) $3x^2 = 15;$

5) $2x^2 = \frac{1}{8};$

6) $3x^2 = 5\frac{1}{3}.$

1) $4x^2 - 169 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член $-169$ в правую часть уравнения, изменив его знак:
$4x^2 = 169$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 4:
$x^2 = \frac{169}{4}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение будет иметь два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{\frac{169}{4}}$

Упростим полученное выражение:
$x = \pm\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{4}} = \pm\frac{13}{2}$
Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $x = \pm6.5$.

Ответ: $x = \pm\frac{13}{2}$.

2) $25 - 16x^2 = 0$

Перенесем $-16x^2$ в правую часть уравнения, чтобы член с переменной стал положительным:
$25 = 16x^2$

Выразим $x^2$, разделив обе части на 16:
$x^2 = \frac{25}{16}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{25}{16}}$

Упростим корень:
$x = \pm\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \pm\frac{5}{4}$
Ответ можно также представить в виде десятичной дроби: $x = \pm1.25$.

Ответ: $x = \pm\frac{5}{4}$.

3) $2x^2 - 16 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:
$2x^2 = 16$

Разделим обе части на 2:
$x^2 = \frac{16}{2}$
$x^2 = 8$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня ($8 = 4 \cdot 2$):
$x = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm2\sqrt{2}$.

4) $3x^2 = 15$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $x^2$:
$x^2 = \frac{15}{3}$
$x^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{5}$.

5) $2x^2 = \frac{1}{8}$

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 = \frac{1}{8} \div 2$
$x^2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}$
$x^2 = \frac{1}{16}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}}$

Упростим корень:
$x = \pm\frac{1}{4}$

Ответ: $x = \pm\frac{1}{4}$.

6) $3x^2 = 5\frac{1}{3}$

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

Теперь уравнение имеет вид:
$3x^2 = \frac{16}{3}$

Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 = \frac{16}{3} \div 3$
$x^2 = \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{3}$
$x^2 = \frac{16}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$

Упростим корень:
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{4}{3}$

Ответ: $x = \pm\frac{4}{3}$.

487. 1) $\frac{x^2-1}{3}=5$;

2) $\frac{9-x^2}{5}=1$;

3) $4=\frac{x^2-5}{5}$;

4) $3=\frac{9x^2-4}{4}$.

1) $\frac{x^2 - 1}{3} = 5$

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на 3:
$x^2 - 1 = 5 \cdot 3$
$x^2 - 1 = 15$

Далее, перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x^2 = 15 + 1$
$x^2 = 16$

Теперь, чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ (где $a>0$) имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$
$x_2 = -4$

Ответ: -4; 4.

2) $\frac{9 - x^2}{5} = 1$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:
$9 - x^2 = 1 \cdot 5$
$9 - x^2 = 5$

Перенесем 9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-x^2 = 5 - 9$
$-x^2 = -4$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить $x^2$ с положительным коэффициентом:
$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$

Ответ: -2; 2.

3) $4 = \frac{x^2 - 5}{5}$

Для удобства можно поменять местами левую и правую части уравнения:
$\frac{x^2 - 5}{5} = 4$

Умножим обе части уравнения на 5:
$x^2 - 5 = 4 \cdot 5$
$x^2 - 5 = 20$

Перенесем -5 в правую часть уравнения:
$x^2 = 20 + 5$
$x^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$

Ответ: -5; 5.

4) $3 = \frac{9x^2 - 4}{4}$

Поменяем местами части уравнения:
$\frac{9x^2 - 4}{4} = 3$

Умножим обе части уравнения на 4:
$9x^2 - 4 = 3 \cdot 4$
$9x^2 - 4 = 12$

Перенесем -4 в правую часть уравнения:
$9x^2 = 12 + 4$
$9x^2 = 16$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы выразить $x^2$ :
$x^2 = \frac{16}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{16}{9}}$
$x = \pm\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$
$x_1 = \frac{4}{3}$
$x_2 = -\frac{4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$; $\frac{4}{3}$.