Страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Обосновать этапы преобразования уравнения $x^2+2x-3=0$ к виду $(x+1)^2=4$ в задаче 1.

1. Преобразование уравнения $x^2+2x-3=0$ к виду $(x+1)^2=4$ осуществляется с помощью метода выделения полного квадрата. Этот метод заключается в том, чтобы представить часть уравнения в виде квадрата двучлена. Рассмотрим этапы преобразования.

Этап 1: Изоляция членов с переменной.
Начнем с исходного уравнения: $x^2+2x-3=0$.
Чтобы подготовить левую часть к выделению полного квадрата, перенесем свободный член (-3) в правую часть уравнения. Это равносильно прибавлению 3 к обеим частям уравнения, чтобы сохранить равенство.
$x^2+2x-3+3 = 0+3$
$x^2+2x = 3$

Этап 2: Дополнение до полного квадрата.
Левая часть уравнения, $x^2+2x$, представляет собой первые два члена из формулы квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
В нашем случае $a=x$. Тогда член $2ab$ соответствует $2x$. Отсюда мы можем найти $b$:
$2 \cdot x \cdot b = 2x$
$b = 1$
Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает третьего члена, $b^2$. В нашем случае это $1^2 = 1$.

Этап 3: Сохранение равенства.
Чтобы уравнение осталось верным, мы должны прибавить найденное число (1) к обеим его частям.
$x^2+2x+1 = 3+1$

Этап 4: Свертывание полного квадрата и упрощение.
Теперь левая часть уравнения, $x^2+2x+1$, представляет собой полный квадрат, который можно свернуть по формуле в $(x+1)^2$. Правую часть уравнения просто вычисляем: $3+1 = 4$.
В результате получаем искомое уравнение:
$(x+1)^2 = 4$

Таким образом, мы обосновали каждый шаг преобразования исходного уравнения к требуемому виду.

Ответ: Преобразование уравнения $x^2+2x-3=0$ к виду $(x+1)^2=4$ выполняется методом выделения полного квадрата. Сначала свободный член -3 переносится в правую часть уравнения, что дает $x^2+2x=3$. Затем, чтобы левая часть стала полным квадратом, к обеим частям уравнения прибавляется $(\frac{2}{2})^2=1$. В результате левая часть $x^2+2x+1$ сворачивается в $(x+1)^2$, а правая часть становится $3+1=4$, что и приводит к итоговому виду $(x+1)^2=4$.

2. Пояснить цель второго этапа преобразования уравнения в задаче 2.

Поскольку в вопросе не приведена сама "задача 2" и ее решение, мы разберем наиболее распространенный случай, к которому может относиться данный вопрос — решение иррационального уравнения. В таких задачах преобразование обычно состоит из двух ключевых этапов.

Предположим, что в задаче 2 решалось иррациональное уравнение, содержащее квадратный корень. Например, уравнение вида: $\sqrt{f(x)} = g(x)$.

Первый этап преобразования, как правило, заключается в том, чтобы изолировать радикал (выражение с корнем) в одной из частей уравнения. Если уравнение изначально имеет вид $\sqrt{x+7} - 1 = x$, то на первом этапе мы переносим $-1$ в правую часть, чтобы получить:

$\sqrt{x+7} = x + 1$

Цель второго этапа преобразования состоит в том, чтобы избавиться от знака корня (радикала) и тем самым свести иррациональное уравнение к рациональному (чаще всего квадратному), которое можно решить стандартными алгебраическими методами. Этот этап заключается в возведении обеих частей уравнения в квадрат.

Продолжая наш пример, на втором этапе мы делаем следующее:

$(\sqrt{x+7})^2 = (x+1)^2$

В результате этого преобразования левая часть избавляется от корня:

$x+7 = x^2 + 2x + 1$

Теперь мы имеем обычное квадратное уравнение, которое легко решается:

$x^2 + x - 6 = 0$

Важно отметить, что возведение в квадрат является неравносильным преобразованием и может привести к появлению посторонних корней. Поэтому после нахождения корней получившегося рационального уравнения обязательным шагом является их проверка путем подстановки в исходное иррациональное уравнение.

Ответ: Цель второго этапа преобразования (предположительно, возведения обеих частей уравнения в квадрат) — устранить иррациональность, то есть избавиться от знака корня, и привести уравнение к рациональному виду, для решения которого существуют стандартные алгоритмы.

3. Пояснить цель третьего этапа преобразования уравнения в задаче 3.

3.

Поскольку точный текст задачи 3 и предыдущие этапы преобразования уравнения не предоставлены, данный ответ основывается на анализе общей методологии решения математических уравнений и иллюстрируется на характерном примере.

В общем случае, при решении сложных уравнений (например, дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических) используется многоэтапный подход. Цель каждого этапа — последовательно упростить уравнение, избавляясь от усложняющих его элементов, чтобы в итоге привести его к стандартному виду, для которого существуют известные методы решения.

Рассмотрим в качестве примера решение типичного дробно-рационального уравнения, чтобы пояснить роль одного из промежуточных этапов. Пусть необходимо решить уравнение:

$ \frac{x+1}{x-1} - \frac{2}{x+1} = \frac{4}{x^2-1} $

Процесс решения такого уравнения можно разбить на следующие шаги:

Этап 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ) и нахождение общего знаменателя. Общий знаменатель $ x^2-1 = (x-1)(x+1) $. ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

Этап 2: Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель с целью избавления от дробей. Это приводит к уравнению:
$ (x+1)(x+1) - 2(x-1) = 4 $

Этап 3: Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и приведение уравнения к стандартному (каноническому) виду.
$ x^2 + 2x + 1 - 2x + 2 = 4 $
$ x^2 + 3 = 4 $
$ x^2 - 1 = 0 $

На данном, третьем, этапе мы преобразовали исходное сложное уравнение к простому неполному квадратному уравнению. Следующими шагами будут его решение и проверка корней на соответствие ОДЗ.

Исходя из этого примера, можно сформулировать цель третьего этапа.

Цель третьего этапа преобразования:

Цель данного этапа заключается в том, чтобы после устранения усложняющих элементов (в нашем случае — знаменателей) выполнить все необходимые алгебраические упрощения для приведения уравнения к одному из стандартных видов (например, линейному $ ax+b=0 $ или квадратному $ ax^2+bx+c=0 $). Эти упрощения включают раскрытие скобок, группировку и приведение подобных членов. Данный этап является ключевым, поскольку он переводит уравнение из промежуточного, еще громоздкого состояния в финальную, простую форму, готовую для применения стандартных алгоритмов нахождения корней. Без этого этапа систематизации дальнейшее решение было бы затруднено.

Ответ: Цель третьего этапа преобразования уравнения — это его алгебраическое упрощение (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) для приведения к стандартному каноническому виду (например, к квадратному уравнению $ ax^2+bx+c=0 $), что позволяет на следующем этапе применить известные методы для нахождения корней.

1. Представить в виде многочлена:

1) $(x+3)^2$;

2) $(2-x)^2$;

3) $(3x-1)^2$;

4) $\left(x-\frac{3}{5}\right)^2$.

1)

Для того чтобы представить выражение $(x+3)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 3$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$

Выполним вычисления:

$x^2 + 6x + 9$

Ответ: $x^2 + 6x + 9$.

2)

Чтобы представить выражение $(2-x)^2$ в виде многочлена, применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2$ и $b = x$.

Подставим значения в формулу:

$(2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2$

Упростим выражение:

$4 - 4x + x^2$

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней:

$x^2 - 4x + 4$

Ответ: $x^2 - 4x + 4$.

3)

Для выражения $(3x-1)^2$ снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В этом случае $a = 3x$ и $b = 1$.

Подставляем в формулу:

$(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2$

Выполняем возведение в степень и умножение:

$9x^2 - 6x + 1$

Ответ: $9x^2 - 6x + 1$.

4)

Для выражения $(x - \frac{3}{5})^2$ используем ту же формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = x$ и $b = \frac{3}{5}$.

Подставляем в формулу:

$(x - \frac{3}{5})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{5} + (\frac{3}{5})^2$

Упрощаем выражение:

$x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{9}{25}$

Ответ: $x^2 - \frac{6}{5}x + \frac{9}{25}$.

2. Найти неизвестный множитель x, если:

1) $14=2x$;

2) $7=2x$;

3) $\frac{1}{2}=2x$;

4) $1=2x$.

1) В уравнении $14=2x$ число $14$ является произведением, $2$ — известным множителем, а $x$ — неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$x = 14 \div 2$
$x = 7$
Ответ: $7$.

2) В уравнении $7=2x$ произведение равно $7$, а известный множитель — $2$. Найдём неизвестный множитель $x$, разделив произведение на известный множитель.
$x = 7 \div 2$
$x = \frac{7}{2}$
$x = 3.5$
Ответ: $3.5$.

3) В уравнении $\frac{1}{2}=2x$ произведение равно $\frac{1}{2}$, а известный множитель — $2$. Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель.
$x = \frac{1}{2} \div 2$
Чтобы разделить дробь на число, нужно умножить знаменатель дроби на это число.
$x = \frac{1}{2 \cdot 2}$
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

4) В уравнении $1=2x$ произведение равно $1$, а известный множитель — $2$. Найдём $x$, разделив произведение на известный множитель.
$x = 1 \div 2$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3. Представить в виде квадрата двучлена:

1) $x^2 + 4x + 4;$

2) $x^2 - 6x + 9;$

3) $4x^2 - 12x + 9;$

4) $\frac{1}{4} + x + x^2.$

1) Чтобы представить трехчлен $x^2 + 4x + 4$ в виде квадрата двучлена, используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$.
Третий член $b^2 = 4 = 2^2$, следовательно, $b = 2$.
Теперь проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$x^2 + 4x + 4 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + (2)^2 = (x + 2)^2$.
Ответ: $(x + 2)^2$.

2) Для выражения $x^2 - 6x + 9$ используется формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$.
Третий член $b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.
Проверим средний член. Он должен быть равен $-2ab$: $-2 \cdot x \cdot 3 = -6x$.
Это значение совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$x^2 - 6x + 9 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + (3)^2 = (x - 3)^2$.
Ответ: $(x - 3)^2$.

3) Рассмотрим выражение $4x^2 - 12x + 9$ и применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, следовательно, $a = 2x$.
Третий член $b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.
Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot (2x) \cdot 3 = -12x$.
Значение совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + (3)^2 = (2x - 3)^2$.
Ответ: $(2x - 3)^2$.

4) Для выражения $\frac{1}{4} + x + x^2$ применим формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для удобства можно переставить слагаемые: $x^2 + x + \frac{1}{4}$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a = x$.
Третий член $b^2 = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$, следовательно, $b = \frac{1}{2}$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$.
Значение совпадает со средним членом в исходном выражении. Таким образом, выражение является полным квадратом.
$\frac{1}{4} + x + x^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x + (x)^2 = (\frac{1}{2} + x)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{2} + x)^2$.

495. Найти такое положительное число m, чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности:

1) $x^2+4x+m;$

2) $x^2-6x+m;$

3) $x^2-14x+m;$

4) $x^2+16x+m;$

5) $x^2+mx+4;$

6) $x^2-mx+9.$

Для того чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности, оно должно представлять собой полный квадрат, соответствующий одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

1) $x^2+4x+m$

Чтобы выражение было квадратом суммы, оно должно соответствовать формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В данном случае $a^2=x^2$, следовательно, $a=x$. Средний член выражения $4x$ должен быть равен $2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb=4x$. Отсюда находим $b = \frac{4x}{2x} = 2$. Тогда член $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 2^2 = 4$. Выражение принимает вид $x^2+4x+4 = (x+2)^2$. Число $m=4$ является положительным.

Ответ: $m=4$.

2) $x^2-6x+m$

Чтобы выражение было квадратом разности, оно должно соответствовать формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a^2=x^2$, следовательно, $a=x$. Средний член выражения $-6x$ должен быть равен $-2ab$. Подставляя $a=x$, получаем $-2xb=-6x$. Отсюда находим $b = \frac{-6x}{-2x} = 3$. Тогда член $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 3^2 = 9$. Выражение принимает вид $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. Число $m=9$ является положительным.

Ответ: $m=9$.

3) $x^2-14x+m$

Это выражение должно быть квадратом разности вида $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Здесь $a=x$. Средний член $-14x$ равен $-2ab$, то есть $-2xb=-14x$. Отсюда находим $b = \frac{-14x}{-2x} = 7$. Тогда $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 7^2 = 49$. Выражение принимает вид $x^2-14x+49 = (x-7)^2$. Число $m=49$ является положительным.

Ответ: $m=49$.

4) $x^2+16x+m$

Это выражение должно быть квадратом суммы вида $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Здесь $a=x$. Средний член $16x$ равен $2ab$, то есть $2xb=16x$. Отсюда находим $b = \frac{16x}{2x} = 8$. Тогда $m$ должен быть равен $b^2$. Вычисляем $m = 8^2 = 64$. Выражение принимает вид $x^2+16x+64 = (x+8)^2$. Число $m=64$ является положительным.

Ответ: $m=64$.

5) $x^2+mx+4$

Чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности, оно должно соответствовать формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab+b^2$. В данном выражении $a^2=x^2$, значит $a=x$. Последний член равен $4$, то есть $b^2=4$, откуда $b=2$. Так как по условию $m$ должно быть положительным числом, то средний член $mx$ должен быть положительным, что соответствует квадрату суммы $(a+b)^2$. Средний член в формуле равен $2ab$. Подставляем $a=x$ и $b=2$: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Сравнивая это со средним членом $mx$, получаем $mx = 4x$, откуда $m=4$. Выражение принимает вид $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Ответ: $m=4$.

6) $x^2-mx+9$

Это выражение должно соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, так как по условию $m$ должно быть положительным числом, а перед членом $mx$ стоит знак минус. В данном выражении $a^2=x^2$, значит $a=x$. Последний член равен $9$, то есть $b^2=9$, откуда $b=3$. Средний член в формуле равен $-2ab$. Подставляем $a=x$ и $b=3$: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 3 = -6x$. Сравнивая это со средним членом $-mx$, получаем $-mx = -6x$, откуда $m=6$. Выражение принимает вид $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. Число $m=6$ является положительным.

Ответ: $m=6$.

496. Методом выделения полного квадрата решить уравнение:

1) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 + 4x - 12 = 0;$

3) $x^2 + 2x - 15 = 0;$

4) $x^2 - 10x + 16 = 0;$

5) $x^2 - 6x + 3 = 0;$

6) $x^2 + 8x - 7 = 0.$

Метод выделения полного квадрата используется для решения квадратных уравнений вида $ax^2+bx+c=0$. Суть метода заключается в преобразовании левой части уравнения к виду $(x+k)^2$ или $(x-k)^2$.

1) $x^2 - 4x - 5 = 0$

Перенесем свободный член (-5) в правую часть уравнения:

$x^2 - 4x = 5$

Для того чтобы левая часть стала полным квадратом, нужно добавить к ней и к правой части уравнения квадрат половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен $-4$, его половина равна $-2$, а квадрат половины — $(-2)^2 = 4$.

$x^2 - 4x + 4 = 5 + 4$

Теперь левая часть является полным квадратом разности $(x-2)^2$.

$(x - 2)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 2 = \pm\sqrt{9}$

$x - 2 = \pm 3$

Отсюда находим два корня:

$x_1 = 2 + 3 = 5$

$x_2 = 2 - 3 = -1$

Ответ: $x_1=5$, $x_2=-1$.

2) $x^2 + 4x - 12 = 0$

Перенесем свободный член (-12) в правую часть:

$x^2 + 4x = 12$

Коэффициент при $x$ равен $4$. Половина этого коэффициента равна $2$, а ее квадрат — $2^2 = 4$. Добавим $4$ к обеим частям уравнения:

$x^2 + 4x + 4 = 12 + 4$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(x + 2)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$x + 2 = \pm\sqrt{16}$

$x + 2 = \pm 4$

Находим корни:

$x_1 = -2 + 4 = 2$

$x_2 = -2 - 4 = -6$

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-6$.

3) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Перенесем свободный член (-15) в правую часть:

$x^2 + 2x = 15$

Коэффициент при $x$ равен $2$. Половина этого коэффициента равна $1$, а ее квадрат — $1^2 = 1$. Добавим $1$ к обеим частям:

$x^2 + 2x + 1 = 15 + 1$

Свернем левую часть:

$(x + 1)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень:

$x + 1 = \pm\sqrt{16}$

$x + 1 = \pm 4$

Находим корни:

$x_1 = -1 + 4 = 3$

$x_2 = -1 - 4 = -5$

Ответ: $x_1=3$, $x_2=-5$.

4) $x^2 - 10x + 16 = 0$

Перенесем свободный член (16) в правую часть:

$x^2 - 10x = -16$

Коэффициент при $x$ равен $-10$. Половина этого коэффициента — $-5$, а ее квадрат — $(-5)^2 = 25$. Добавим $25$ к обеим частям:

$x^2 - 10x + 25 = -16 + 25$

Свернем левую часть:

$(x - 5)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень:

$x - 5 = \pm\sqrt{9}$

$x - 5 = \pm 3$

Находим корни:

$x_1 = 5 + 3 = 8$

$x_2 = 5 - 3 = 2$

Ответ: $x_1=8$, $x_2=2$.

5) $x^2 - 6x + 3 = 0$

Перенесем свободный член (3) в правую часть:

$x^2 - 6x = -3$

Коэффициент при $x$ равен $-6$. Половина — $-3$, квадрат половины — $(-3)^2 = 9$. Добавим $9$ к обеим частям:

$x^2 - 6x + 9 = -3 + 9$

Свернем левую часть:

$(x - 3)^2 = 6$

Извлечем квадратный корень:

$x - 3 = \pm\sqrt{6}$

Находим корни:

$x = 3 \pm\sqrt{6}$

Ответ: $x_1=3+\sqrt{6}$, $x_2=3-\sqrt{6}$.

6) $x^2 + 8x - 7 = 0$

Перенесем свободный член (-7) в правую часть:

$x^2 + 8x = 7$

Коэффициент при $x$ равен $8$. Половина — $4$, квадрат половины — $4^2 = 16$. Добавим $16$ к обеим частям:

$x^2 + 8x + 16 = 7 + 16$

Свернем левую часть:

$(x + 4)^2 = 23$

Извлечем квадратный корень:

$x + 4 = \pm\sqrt{23}$

Находим корни:

$x = -4 \pm\sqrt{23}$

Ответ: $x_1=-4+\sqrt{23}$, $x_2=-4-\sqrt{23}$.

Решить уравнение (497—499).

497.

1) $9x^2 + 6x - 8 = 0$;

2) $25x^2 - 10x - 3 = 0$.

1) $9x^2 + 6x - 8 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Определим коэффициенты:

$a = 9, b = 6, c = -8$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8) = 36 + 288 = 324$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{324} = 18$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-6 - 18}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}; \frac{2}{3}$.

2) $25x^2 - 10x - 3 = 0$

Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Определим коэффициенты:

$a = 25, b = -10, c = -3$.

Так как коэффициент $b$ является четным числом, для удобства вычислений можно использовать формулу для "упрощенного" дискриминанта $D_1$ (или $D/4$): $D_1 = k^2 - ac$, где $k = \frac{b}{2}$.

$k = \frac{-10}{2} = -5$.

$D_1 = (-5)^2 - 25 \cdot (-3) = 25 + 75 = 100$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{100} = 10$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) - 10}{25} = \frac{5 - 10}{25} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-(-5) + 10}{25} = \frac{5 + 10}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}; \frac{3}{5}$.

498. 1) $x^2 - 5x + 4 = 0$;

2) $x^2 - 3x - 10 = 0$.

1) Решим квадратное уравнение $x^2-5x+4=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Определим его коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$ ($9 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Также можно было воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=-5$ и $q=4$. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 4. Это числа 1 и 4.

Ответ: $x_1=1, x_2=4$.

2) Решим квадратное уравнение $x^2-3x-10=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Определим его коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-10$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Так как $D > 0$ ($49 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Проверим по теореме Виета. Сумма корней $x_1+x_2=5+(-2)=3$. Коэффициент при $x$ с противоположным знаком равен $-(-3)=3$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-2) = -10$. Свободный член равен -10. Все сходится.

Ответ: $x_1=5, x_2=-2$.

499. 1) $2x^2+3x-5=0$;

2) $5x^2-7x-6=0$.

1) Решим квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 3$, $c = -5$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$.

Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -2.5$.

2) Решим квадратное уравнение $5x^2 - 7x - 6 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -7$, $c = -6$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 13}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} = -0.6$.

Ответ: $x_1 = 2$; $x_2 = -0.6$.