Номер 498, страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 28. Метод выделения полного квадрата. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 498, страница 197.

Условие.

498. 1) $x^2 - 5x + 4 = 0$;

2) $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим квадратное уравнение $x^2-5x+4=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Определим его коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=4$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$ ($9 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Также можно было воспользоваться теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $x_1+x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=-5$ и $q=4$. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 4. Это числа 1 и 4.

Ответ: $x_1=1, x_2=4$.

2) Решим квадратное уравнение $x^2-3x-10=0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Определим его коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-10$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Так как $D > 0$ ($49 > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Проверим по теореме Виета. Сумма корней $x_1+x_2=5+(-2)=3$. Коэффициент при $x$ с противоположным знаком равен $-(-3)=3$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-2) = -10$. Свободный член равен -10. Все сходится.

Ответ: $x_1=5, x_2=-2$.