Номер 5, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 29. Решение квадратных уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 5, страница 201.

Условие.

5. При каких условиях квадратное уравнение не имеет действительных корней; имеет один корень; имеет два корня?

Не имеет действительных корней:

$D < 0$

Имеет один корень:

$D = 0$

Имеет два корня:

$D > 0$

Решение 4.

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ – действительные числа и $a \neq 0$, зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Из этой формулы видно, что наличие и количество действительных корней определяется выражением $\sqrt{D}$.

не имеет действительных корней

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если подкоренное выражение в формуле корней является отрицательным числом. Это связано с тем, что в множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Следовательно, это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше нуля.
Ответ: квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

имеет один корень

Квадратное уравнение имеет один действительный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих или кратных корня), если подкоренное выражение в формуле корней равно нулю. В этом случае слагаемое $\pm \sqrt{D}$ обращается в ноль, и формула дает единственное значение для корня: $x = -\frac{b}{2a}$. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю.
Ответ: квадратное уравнение имеет один действительный корень, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ равен нулю ($D = 0$).

имеет два корня

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если подкоренное выражение в формуле корней является положительным числом. В этом случае $\sqrt{D}$ — это положительное действительное число, и в зависимости от знака (плюс или минус) перед ним получаются два разных корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ больше нуля.
Ответ: квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ положителен ($D > 0$).