Страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Обосновать верность равенства $ \frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{b}{2a} $.

1. Обосновать верность равенства $\frac{b}{a} = 2 \cdot \frac{b}{2a}$

Для того чтобы обосновать верность этого равенства, необходимо доказать, что его левая и правая части равны друг другу. Мы можем сделать это, преобразовав (упростив) правую часть равенства. Данное равенство имеет смысл при условии, что знаменатель дроби не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Рассмотрим правую часть равенства: $2 \cdot \frac{b}{2a}$.

Согласно правилу умножения целого числа на дробь, нужно умножить это число на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним:

$2 \cdot \frac{b}{2a} = \frac{2 \cdot b}{2a} = \frac{2b}{2a}$

Теперь мы видим, что в полученной дроби $\frac{2b}{2a}$ и числитель (2b), и знаменатель (2a) имеют общий множитель 2. Мы можем сократить дробь, разделив на него числитель и знаменатель:

$\frac{2b}{2a} = \frac{2 \cdot b}{2 \cdot a} = \frac{b}{a}$

В результате упрощения правая часть равенства $2 \cdot \frac{b}{2a}$ приведена к виду $\frac{b}{a}$.

Таким образом, мы получили, что левая часть равенства ($\frac{b}{a}$) равна преобразованной правой части ($\frac{b}{a}$), что и доказывает верность исходного равенства.

Ответ: Равенство является верным. Для доказательства нужно преобразовать правую часть: $2 \cdot \frac{b}{2a} = \frac{2b}{2a}$. После сокращения полученной дроби на общий множитель 2, она становится равной $\frac{b}{a}$, что совпадает с левой частью равенства.

2. С помощью свойств уравнений обосновать этапы преобразования уравнения $ax^2+bx+c=0$ $(a \neq 0)$ к виду (1).

Для того чтобы обосновать этапы преобразования уравнения $ax^2+bx+c=0$ ($a\neq0$) к виду (1), которым является формула для нахождения корней квадратного уравнения, необходимо выполнить ряд последовательных равносильных преобразований. Каждый шаг основывается на свойствах уравнений.

Шаг 1. Перенос свободного члена в правую часть
Исходное уравнение: $ax^2+bx+c=0$.
Обоснование: используется свойство равносильности уравнений, которое гласит, что если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих вычесть) одно и то же число или выражение, то получится уравнение, равносильное данному. Вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $c$.
$ax^2+bx+c-c = 0-c$
Получаем: $ax^2+bx = -c$.

Шаг 2. Деление уравнения на старший коэффициент
Обоснование: используется свойство равносильности, согласно которому обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Поскольку по условию $a\neq0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$.
$\frac{ax^2+bx}{a} = \frac{-c}{a}$
Получаем приведенное уравнение: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$.

Шаг 3. Выделение полного квадрата в левой части
Обоснование: для преобразования левой части к виду полного квадрата двучлена $(x+k)^2 = x^2+2kx+k^2$, необходимо добавить соответствующее слагаемое. Сравнивая выражение $x^2 + \frac{b}{a}x$ с $x^2+2kx$, находим, что $2kx = \frac{b}{a}x$, откуда $k=\frac{b}{2a}$. Таким образом, нужное слагаемое — это $k^2 = (\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}$. Чтобы сохранить равносильность уравнения, это же выражение необходимо прибавить и к правой части (согласно свойству из шага 1).
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

Шаг 4. Преобразование левой и правой частей
Обоснование: выполняются тождественные алгебраические преобразования. Левая часть сворачивается по формуле квадрата суммы. Правая часть упрощается путем приведения дробей к общему знаменателю.
Левая часть: $(x + \frac{b}{2a})^2$.
Правая часть: $-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{-c \cdot 4a}{a \cdot 4a} + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
Уравнение приобретает вид: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}$.

Шаг 5. Извлечение квадратного корня из обеих частей
Обоснование: применяется правило решения уравнений вида $Y^2=M$. Если $M \geq 0$, то $Y = \pm\sqrt{M}$. Это преобразование является равносильным при условии, что правая часть уравнения неотрицательна, то есть $b^2-4ac \ge 0$.
$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
Используя свойство корня из дроби ($\sqrt{\frac{M}{N}}=\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{N}}$) и свойство корня из квадрата ($\sqrt{y^2}=|y|$), получаем:
$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}$.
Так как перед дробью стоит знак $\pm$, который уже учитывает оба возможных знака, то модуль в знаменателе можно опустить и записать просто $2a$.

Шаг 6. Выражение переменной $x$
Обоснование: для нахождения $x$ переносим слагаемое $\frac{b}{2a}$ из левой части в правую, используя свойство равносильности (аналогично шагу 1). Затем приводим дроби в правой части к общему знаменателю.
$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Это и есть искомая формула вида (1).

Ответ: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

3. Прочитать формулу

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Представленная формула $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ используется для нахождения корней квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$). Чтобы правильно прочитать эту формулу, необходимо последовательно озвучить все её компоненты.

Формула читается по частям:

• $x_{1,2}$ — произносится как «икс первое, второе». Это указывает на то, что у уравнения может быть два корня.
• $=$ — произносится как «равно» или «равняется».
• Далее идет дробное выражение. Его можно прочитать, сначала назвав числитель, а затем знаменатель.
• Числитель $-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$ читается как «минус бэ плюс-минус корень квадратный из бэ в квадрате минус четыре а цэ».
  • Знак $\pm$ («плюс-минус») означает, что для нахождения одного корня используется знак «+», а для другого — «−».
  • Выражение под корнем, $b^2 - 4ac$, — это дискриминант, от знака которого зависит количество действительных корней.
• Знаменатель $2a$ читается как «два а».

Таким образом, объединив все части, можно сформулировать полное прочтение. Самый распространённый вариант звучит следующим образом:

«Икс первое, второе равно минус бэ плюс-минус корень квадратный из бэ в квадрате минус четыре а цэ, всё это делённое на два а».

Более формальный, «книжный» вариант:

«Икс первое, второе равняется дроби, в числителе которой находится выражение минус бэ плюс-минус корень квадратный из разности бэ в квадрате и четырёх а цэ, а в знаменателе — два а».

Ответ: Формула $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ читается как: «Икс первое, второе равно минус бэ плюс-минус корень квадратный из бэ в квадрате минус четыре а цэ, делённое на два а».

4. Как называется выражение $b^2 - 4ac$, где $a$ и $b$ — коэффициенты, $c$ — свободный член квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$? Как обозначают это выражение?

Как называется выражение $b^2-4ac$, где $a$ и $b$ — коэффициенты, $c$ — свободный член квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$?

В алгебре, при решении квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$), выражение $b^2 - 4ac$ называется дискриминантом.

Это название происходит от латинского слова discriminans, что переводится как «различающий» или «разделяющий». Такое название точно отражает его основное предназначение: по знаку дискриминанта можно судить о количестве действительных корней квадратного уравнения.

• Если дискриминант положителен ($b^2 - 4ac > 0$), то уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если дискриминант равен нулю ($b^2 - 4ac = 0$), то уравнение имеет один действительный корень (или, как иногда говорят, два совпадающих действительных корня).
• Если дискриминант отрицателен ($b^2 - 4ac < 0$), то уравнение не имеет действительных корней (его корни являются комплексными числами).

Как обозначают это выражение?

Для краткости и удобства в математических записях дискриминант принято обозначать заглавной латинской буквой $D$. Таким образом, формула для вычисления дискриминанта имеет вид:

$D = b^2 - 4ac$

Это обозначение используется, например, в общей формуле для нахождения корней квадратного уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Ответ: Выражение $b^2 - 4ac$ называется дискриминантом и обозначается заглавной латинской буквой $D$.

5. При каких условиях квадратное уравнение не имеет действительных корней; имеет один корень; имеет два корня?

$D < 0$

$D = 0$

$D > 0$

Количество действительных корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ – действительные числа и $a \neq 0$, зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Из этой формулы видно, что наличие и количество действительных корней определяется выражением $\sqrt{D}$.

не имеет действительных корней

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если подкоренное выражение в формуле корней является отрицательным числом. Это связано с тем, что в множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Следовательно, это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше нуля.
Ответ: квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

имеет один корень

Квадратное уравнение имеет один действительный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих или кратных корня), если подкоренное выражение в формуле корней равно нулю. В этом случае слагаемое $\pm \sqrt{D}$ обращается в ноль, и формула дает единственное значение для корня: $x = -\frac{b}{2a}$. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю.
Ответ: квадратное уравнение имеет один действительный корень, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ равен нулю ($D = 0$).

имеет два корня

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если подкоренное выражение в формуле корней является положительным числом. В этом случае $\sqrt{D}$ — это положительное действительное число, и в зависимости от знака (плюс или минус) перед ним получаются два разных корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ больше нуля.
Ответ: квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ положителен ($D > 0$).

6. Обосновать вывод формулы корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент представим в виде $2m$, где $m$ — целое число.

Рассмотрим стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

Общая формула для нахождения корней этого уравнения выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Согласно условию задачи, второй коэффициент $b$ можно представить в виде $b = 2m$, где $m$ — целое число. Это означает, что коэффициент $b$ является четным. Заметим, что $m = \frac{b}{2}$.

Подставим $b = 2m$ в общую формулу корней квадратного уравнения, чтобы получить формулу для случая с четным вторым коэффициентом.

$x_{1,2} = \frac{-(2m) \pm \sqrt{(2m)^2 - 4ac}}{2a}$

Теперь выполним алгебраические преобразования. Сначала упростим выражение под корнем (дискриминант $D$):

$D = (2m)^2 - 4ac = 4m^2 - 4ac$

Как видно, из обоих слагаемых под корнем можно вынести общий множитель 4:

$D = 4(m^2 - ac)$

Подставим это выражение обратно в формулу для корней:

$x_{1,2} = \frac{-2m \pm \sqrt{4(m^2 - ac)}}{2a}$

Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, вынесем множитель 4 из-под знака корня:

$x_{1,2} = \frac{-2m \pm 2\sqrt{m^2 - ac}}{2a}$

Теперь в числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$x_{1,2} = \frac{2(-m \pm \sqrt{m^2 - ac})}{2a}$

Сократим общий множитель 2 в числителе и знаменателе:

$x_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - ac}}{a}$

Эта формула является искомой. Выражение $D_1 = m^2 - ac$ иногда называют "дискриминантом для четного коэффициента" или "четвертью дискриминанта", поскольку $D_1 = \frac{D}{4}$. Таким образом, мы обосновали вывод формулы, которая упрощает вычисления в случае, когда второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом.

Ответ: Формула для корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент $b$ представим в виде $2m$, выводится из стандартной формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ путем подстановки $b = 2m$. Последовательные алгебраические упрощения, включающие вынесение множителя 4 из-под корня и сокращение дроби на 2, приводят к итоговой формуле: $x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - ac}}{a}$, где $m = \frac{b}{2}$.

1. Решить уравнение:

1) $x^2 - 81 = 0$;

2) $5x^2 + 15x = 0$;

3) $(x - 2)^2 = 0$;

4) $(x + 1)^2 - 1 = 0$.

1) $x^2 - 81 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Для его решения перенесем свободный член (-81) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = 81$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня — положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{81}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 9$

$x_2 = -9$

Ответ: $x = \pm 9$.

2) $5x^2 + 15x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $5x^2$ и $15x$ является $5x$.

$5x(x + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$5x = 0$ или $x + 3 = 0$

Решим каждое из полученных уравнений:

Из $5x = 0$ следует, что $x_1 = 0$.

Из $x + 3 = 0$ следует, что $x_2 = -3$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$.

3) $(x - 2)^2 = 0$

В данном уравнении выражение в скобках возводится в квадрат, и результат равен нулю. Квадрат какого-либо числа равен нулю только в том случае, если само это число равно нулю.

Следовательно, мы можем приравнять выражение в скобках к нулю:

$x - 2 = 0$

Перенесем -2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 2$

Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).

Ответ: $x = 2$.

4) $(x + 1)^2 - 1 = 0$

Это уравнение можно решить несколькими способами. Рассмотрим наиболее простой. Перенесем свободный член (-1) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$(x + 1)^2 = 1$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Как и в первом примере, корень может быть положительным или отрицательным.

$x + 1 = \pm\sqrt{1}$

$x + 1 = \pm 1$

Это уравнение распадается на два отдельных линейных уравнения:

Первый случай: $x + 1 = 1$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем $x_1 = 1 - 1 = 0$.

Второй случай: $x + 1 = -1$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем $x_2 = -1 - 1 = -2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

2. Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:

1) $2x^2 - 3x + 1 = 0$;

2) $-x^2 - 2x + 3 = 0$;

3) $-5x^2 - 12x = 0$;

4) $7x^2 - 13 = 0$.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – старший коэффициент (при $x^2$), $b$ – второй коэффициент (при $x$), а $c$ – свободный член.

1) В уравнении $2x^2 - 3x + 1 = 0$ старший коэффициент – это число, стоящее перед $x^2$, то есть $a = 2$. Второй коэффициент – это число перед $x$, то есть $b = -3$. Свободный член – это число без переменной, то есть $c = 1$.

Ответ: коэффициенты: $a = 2, b = -3$; свободный член: $c = 1$.

2) В уравнении $-x^2 - 2x + 3 = 0$ старший коэффициент $a = -1$ (так как $-x^2$ это то же самое, что и $-1 \cdot x^2$). Второй коэффициент $b = -2$. Свободный член $c = 3$.

Ответ: коэффициенты: $a = -1, b = -2$; свободный член: $c = 3$.

3) Уравнение $-5x^2 - 12x = 0$ является неполным квадратным уравнением. Сравнивая его с общей формой $ax^2 + bx + c = 0$, находим коэффициенты: старший коэффициент $a = -5$, второй коэффициент $b = -12$. Свободный член в уравнении отсутствует, следовательно, он равен нулю: $c = 0$.

Ответ: коэффициенты: $a = -5, b = -12$; свободный член: $c = 0$.

4) Уравнение $7x^2 - 13 = 0$ также является неполным. В нем есть член с $x^2$ и свободный член, но отсутствует член с $x$. Старший коэффициент $a = 7$. Так как слагаемое с $x$ отсутствует, его коэффициент равен нулю: $b = 0$. Свободный член $c = -13$.

Ответ: коэффициенты: $a = 7, b = 0$; свободный член: $c = -13$.

3. Найти значение выражения $b^2 - 4ac$, если:

1) $a=1, b=3, c=-5;$

2) $a=6, b=-2, c=1;$

3) $a=-1, b=4, c=-2;$

4) $a=-2, b=-5, c=-1.$

1) Для нахождения значения выражения $b^2 - 4ac$ при $a=1$, $b=3$ и $c=-5$, подставим эти значения в выражение:

$b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 - (-20) = 9 + 20 = 29$.
Ответ: 29

2) Для нахождения значения выражения $b^2 - 4ac$ при $a=6$, $b=-2$ и $c=1$, подставим эти значения в выражение:

$b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 4 - 24 = -20$.
Ответ: -20

3) Для нахождения значения выражения $b^2 - 4ac$ при $a=-1$, $b=4$ и $c=-2$, подставим эти значения в выражение:

$b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 16 - 8 = 8$.
Ответ: 8

4) Для нахождения значения выражения $b^2 - 4ac$ при $a=-2$, $b=-5$ и $c=-1$, подставим эти значения в выражение:

$b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 25 - 8 = 17$.
Ответ: 17

4. Представить в виде квадрата одночлена стандартного вида выражение:

1) $4a^2$;

2) $a^2b^4$;

3) $2a^6$;

4) $\frac{3}{25}b^8$.

Чтобы представить выражение в виде квадрата одночлена стандартного вида, нужно найти такой одночлен, квадрат которого равен исходному выражению. Для этого необходимо, чтобы числовой коэффициент был неотрицательным, а показатели степеней всех переменных были четными числами. Затем нужно извлечь квадратный корень из коэффициента и поделить показатели степеней переменных на 2.

Общая формула: $C \cdot x^{2m} \cdot y^{2n} = (\sqrt{C} \cdot x^m \cdot y^n)^2$.

1) $4a^2$

Представим каждый множитель выражения в виде квадрата:

• Числовой коэффициент: $4 = 2^2$.
• Переменная $a$: $a^2 = (a^1)^2 = (a)^2$.

Объединив, получаем: $4a^2 = 2^2 \cdot a^2 = (2a)^2$.

Ответ: $(2a)^2$.

2) $a^2b^4$

Представим каждый множитель выражения в виде квадрата (коэффициент равен 1):

• Переменная $a$: $a^2 = (a^1)^2 = (a)^2$.
• Переменная $b$: $b^4 = (b^{4/2})^2 = (b^2)^2$.

Объединив, получаем: $a^2b^4 = a^2 \cdot (b^2)^2 = (ab^2)^2$.

Ответ: $(ab^2)^2$.

3) $2a^6$

Представим каждый множитель выражения в виде квадрата. Показатель степени у переменной $a$ четный ($6$), что позволяет это сделать. Коэффициент $2$ не является квадратом рационального числа, поэтому его квадратный корень будет иррациональным числом.

• Числовой коэффициент: $2 = (\sqrt{2})^2$.
• Переменная $a$: $a^6 = (a^{6/2})^2 = (a^3)^2$.

Объединив, получаем: $2a^6 = (\sqrt{2})^2 \cdot (a^3)^2 = (\sqrt{2}a^3)^2$.

Ответ: $(\sqrt{2}a^3)^2$.

4) $\frac{3}{25}b^8$

Представим каждый множитель выражения в виде квадрата. Показатель степени у переменной $b$ четный ($8$). Коэффициент $\frac{3}{25}$ не является квадратом рационального числа, так как числитель $3$ не является квадратом.

• Числовой коэффициент: $\frac{3}{25} = \frac{(\sqrt{3})^2}{5^2} = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2$.
• Переменная $b$: $b^8 = (b^{8/2})^2 = (b^4)^2$.

Объединив, получаем: $\frac{3}{25}b^8 = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 \cdot (b^4)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{5}b^4\right)^2$.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{5}b^4\right)^2$.