Страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

500. Найти значение выражения $\sqrt{b^2 - 4ac}$ при:

1) $a=3$, $b=1$, $c=-4$;

2) $a=3$, $b=-0,2$, $c=-0,01$;

3) $a=7$, $b=-6$, $c=-45$;

4) $a=-1$, $b=5$, $c=1800$.

1) Даны значения: $a=3$, $b=1$, $c=-4$. Подставим их в выражение $\sqrt{b^2 - 4ac}$:

$\sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)} = \sqrt{1 - (-48)} = \sqrt{1 + 48} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

2) Даны значения: $a=3$, $b=-0,2$, $c=-0,01$. Подставим их в выражение $\sqrt{b^2 - 4ac}$:

$\sqrt{(-0,2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-0,01)} = \sqrt{0,04 - (-0,12)} = \sqrt{0,04 + 0,12} = \sqrt{0,16} = 0,4$.

Ответ: 0,4

3) Даны значения: $a=7$, $b=-6$, $c=-45$. Подставим их в выражение $\sqrt{b^2 - 4ac}$:

$\sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-45)} = \sqrt{36 - (-1260)} = \sqrt{36 + 1260} = \sqrt{1296}$.

Чтобы найти корень из 1296, заметим, что $30^2 = 900$ и $40^2 = 1600$. Поскольку число 1296 оканчивается на 6, его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Проверим $36^2$:

$36 \cdot 36 = 1296$.

Следовательно, $\sqrt{1296} = 36$.

Ответ: 36

4) Даны значения: $a=-1$, $b=5$, $c=1800$. Подставим их в выражение $\sqrt{b^2 - 4ac}$:

$\sqrt{5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 1800} = \sqrt{25 - (-7200)} = \sqrt{25 + 7200} = \sqrt{7225}$.

Чтобы найти корень из 7225, заметим, что $80^2=6400$ и $90^2=8100$. Поскольку число 7225 оканчивается на 5, его корень должен оканчиваться на 5. Проверим $85^2$:

$85 \cdot 85 = (80+5)^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 5 + 5^2 = 6400 + 800 + 25 = 7225$.

Следовательно, $\sqrt{7225} = 85$.

Ответ: 85

501. Решить квадратное уравнение:

1) $2x^2 + 3x + 1 = 0;$

2) $2x^2 - 3x + 1 = 0;$

3) $2x^2 + 5x + 2 = 0;$

4) $2x^2 - 7x + 3 = 0;$

5) $3x^2 + 11x + 6 = 0;$

6) $4x^2 - 11x + 6 = 0.$

1) $2x^2+3x+1=0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$. Для его решения найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=3$, $c=1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $x_1 = -0.5$; $x_2 = -1$.

2) $2x^2-3x+1=0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-3$, $c=1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = 0.5$.

3) $2x^2+5x+2=0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=5$, $c=2$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Ответ: $x_1 = -0.5$; $x_2 = -2$.

4) $2x^2-7x+3=0$

Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=-7$, $c=3$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $x_1 = 3$; $x_2 = 0.5$.

5) $3x^2+11x+6=0$

Коэффициенты уравнения: $a=3$, $b=11$, $c=6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 7}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 7}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $x_1 = -\frac{2}{3}$; $x_2 = -3$.

6) $4x^2-11x+6=0$

Коэффициенты уравнения: $a=4$, $b=-11$, $c=6$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$.

Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ: $x_1 = 2$; $x_2 = \frac{3}{4}$.

502. Найти все значения x, при которых равно нулю значение выражения:

1) $2x^2 + 5x - 3$;

2) $2x^2 - 7x - 4$;

3) $3x^2 + x - 4$;

4) $3x^2 + 2x - 1$;

5) $x^2 + 4x - 3$;

6) $3x^2 + 12x + 10$;

7) $-2x^2 + x + 1$;

8) $-3x^2 - x + 4$.

Чтобы найти значения x, при которых значение выражения равно нулю, необходимо приравнять каждое выражение к нулю и решить полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Корни такого уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $2x^2 + 5x - 3 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=5, c=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$
Ответ: $x_1 = 0,5$; $x_2 = -3$.

2) $2x^2 - 7x - 4 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=-7, c=-4$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 4$; $x_2 = -0,5$.

3) $3x^2 + x - 4 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=1, c=-4$.
Вычислим дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -\frac{4}{3}$.

4) $3x^2 + 2x - 1 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=2, c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$; $x_2 = -1$.

5) $x^2 + 4x - 3 = 0$
Коэффициенты: $a=1, b=4, c=-3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$.
$\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = -2 \pm \sqrt{7}$.
Ответ: $x_1 = -2 + \sqrt{7}$; $x_2 = -2 - \sqrt{7}$.

6) $3x^2 + 12x + 10 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=12, c=10$.
Вычислим дискриминант:
$D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$.
$\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{6}}{3}$; $x_2 = \frac{-6 - \sqrt{6}}{3}$.

7) $-2x^2 + x + 1 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2x^2 - x - 1 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-1$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -0,5$.

8) $-3x^2 - x + 4 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$3x^2 + x - 4 = 0$.
Данное уравнение идентично уравнению из пункта 3), поэтому корни будут такими же.
$x_1 = 1$
$x_2 = -\frac{4}{3}$
Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -\frac{4}{3}$.

Решить квадратное уравнение (503—504).

503.

1) $9x^2 - 6x + 1 = 0$;

2) $16x^2 - 8x + 1 = 0$;

3) $49x^2 + 28x + 4 = 0$;

4) $36x^2 + 12x + 1 = 0$.

1) $9x^2 - 6x + 1 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения можно заметить, что его левая часть является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = 9x^2 = (3x)^2$, $b^2 = 1^2$, а $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 0$

Свернем левую часть по формуле:

$(3x - 1)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю:

$3x - 1 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

2) $16x^2 - 8x + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения также является полным квадратом разности. Здесь $a^2 = 16x^2 = (4x)^2$, $b^2 = 1^2$, и $2ab = 2 \cdot 4x \cdot 1 = 8x$.

Перепишем уравнение, используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(4x - 1)^2 = 0$

Приравниваем основание степени к нулю:

$4x - 1 = 0$

Находим $x$:

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

3) $49x^2 + 28x + 4 = 0$

В этом случае левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = 49x^2 = (7x)^2$, $b^2 = 4 = 2^2$, и $2ab = 2 \cdot 7x \cdot 2 = 28x$.

Свернем левую часть уравнения по формуле:

$(7x + 2)^2 = 0$

Приравниваем основание степени к нулю:

$7x + 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$7x = -2$

$x = -\frac{2}{7}$

Ответ: $x = -\frac{2}{7}$.

4) $36x^2 + 12x + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом суммы. Здесь $a^2 = 36x^2 = (6x)^2$, $b^2 = 1^2$, и $2ab = 2 \cdot 6x \cdot 1 = 12x$.

Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, перепишем уравнение:

$(6x + 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что выражение в скобках равно нулю:

$6x + 1 = 0$

Находим $x$:

$6x = -1$

$x = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.

504. 1) $2x^2 + x + 1 = 0;$

2) $3x^2 - x + 2 = 0;$

3) $5x^2 + 2x + 3 = 0;$

4) $x^2 - 2x + 10 = 0.$

Для решения данных квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ необходимо найти дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Если $D \geq 0$, корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $2x^2 + x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = 1$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D = -7 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

2) $3x^2 - x + 2 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -1$, $c = 2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.

Так как дискриминант $D = -23 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

3) $5x^2 + 2x + 3 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = 2$, $c = 3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 - 60 = -56$.

Так как дискриминант $D = -56 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

4) $x^2 - 2x + 10 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -2$, $c = 10$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.

Так как дискриминант $D = -36 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

505. Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет:

1) $2x^2+5x-7=0;$

2) $3x^2-7x-8=0;$

3) $4x^2+4x+1=0;$

4) $9x^2-6x+2=0.$

Чтобы определить количество корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, не решая его, необходимо вычислить значение дискриминанта $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. Количество корней зависит от знака дискриминанта:
- если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня;
- если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих);
- если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Применим этот метод для каждого уравнения.

1) В уравнении $2x^2 + 5x - 7 = 0$ коэффициенты равны: $a = 2$, $b = 5$, $c = -7$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.
Так как $D = 81 > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: два корня.

2) В уравнении $3x^2 - 7x - 8 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -7$, $c = -8$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 49 + 96 = 145$.
Так как $D = 145 > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Ответ: два корня.

3) В уравнении $4x^2 + 4x + 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 4$, $b = 4$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.
Ответ: один корень.

4) В уравнении $9x^2 - 6x + 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 9$, $b = -6$, $c = 2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 36 - 72 = -36$.
Так как $D = -36 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

Решить уравнение (506–508).

506.

1) $7x^2 - 6x + 2 = 0$;

2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$;

3) $9x^2 + 12x + 4 = 0$;

4) $4x^2 - 20x + 25 = 0$;

5) $4x^2 + 12x + 9 = 0$;

6) $x^2 - 3x - 4 = 0$.

1) $7x^2 - 6x + 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=7$, $b=-6$, $c=2$.
Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 36 - 56 = -20$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=3$, $b=-5$, $c=4$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

3) $9x^2 + 12x + 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=9$, $b=12$, $c=4$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, который можно найти по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-12}{2 \cdot 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $9x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(3x+2)^2 = 0$, откуда $3x+2=0$ и $x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

4) $4x^2 - 20x + 25 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=4$, $b=-20$, $c=25$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0$.
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = \frac{-b}{2a}$.
$x = \frac{-(-20)}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $4x^2 - 20x + 25 = (2x-5)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(2x-5)^2 = 0$, откуда $2x-5=0$ и $x = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

5) $4x^2 + 12x + 9 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=4$, $b=12$, $c=9$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
Поскольку дискриминант $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = \frac{-b}{2a}$.
$x = \frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.
Также можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом: $4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2$. Тогда уравнение принимает вид $(2x+3)^2 = 0$, откуда $2x+3=0$ и $x = -\frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{3}{2}$.

6) $x^2 - 3x - 4 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-3$, $c=-4$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
$x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{3-5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: $-1; 4$.

507. 1) $6x^2 = 5x + 1;$

2) $5x^2 + 1 = 6x;$

3) $x(x-1) = 72;$

4) $x(x+1) = 56;$

5) $2x(x+2) = 8x+3;$

6) $3x(x-2) - 1 = x - 0.5(8+x^2).$

1) $6x^2 = 5x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 5x - 1 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=6, b=-5, c=-1$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{6}$.

2) $5x^2 + 1 = 6x$

Приведем уравнение к стандартному виду:
$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Найдем дискриминант ($a=5, b=-6, c=1$):
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{1}{5}$.

3) $x(x-1) = 72$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - x = 72$
$x^2 - x - 72 = 0$

Найдем дискриминант ($a=1, b=-1, c=-72$):
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 9$, $x_2 = -8$.

4) $x(x+1) = 56$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 + x = 56$
$x^2 + x - 56 = 0$

Найдем дискриминант ($a=1, b=1, c=-56$):
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $x_1 = 7$, $x_2 = -8$.

5) $2x(x+2) = 8x+3$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:
$2x^2 + 4x = 8x + 3$
$2x^2 + 4x - 8x - 3 = 0$
$2x^2 - 4x - 3 = 0$

Найдем дискриминант ($a=2, b=-4, c=-3$):
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 16 + 24 = 40$

Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 10}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$

Ответ: $x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

6) $3x(x-2)-1 = x-0,5(8+x^2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3x^2 - 6x - 1 = x - 4 - 0,5x^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 + 0,5x^2 - 6x - x - 1 + 4 = 0$
$3,5x^2 - 7x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$7x^2 - 14x + 6 = 0$

Найдем дискриминант ($a=7, b=-14, c=6$):
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 6 = 196 - 168 = 28$

Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-(-14) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 7} = \frac{14 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{14} = \frac{14 \pm 2\sqrt{7}}{14} = \frac{2(7 \pm \sqrt{7})}{14} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}$

Ответ: $x = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}$.

508. 1) $ \frac{x^2 + 3x}{2} = \frac{x+7}{4}; $

2) $ \frac{x^2 - 3x}{7} + x = 11; $

3) $ \frac{2x^2 + x}{3} - \frac{2-3x}{4} = \frac{x^2 - 6}{6}; $

4) $ \frac{x^2 + x}{4} - \frac{3-7x}{20} = 0,3. $

1) Дано уравнение: $\frac{x^2 + 3x}{2} = \frac{x + 7}{4}$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 4, то есть на 4:

$4 \cdot \frac{x^2 + 3x}{2} = 4 \cdot \frac{x + 7}{4}$

$2(x^2 + 3x) = x + 7$

Раскроем скобки в левой части:

$2x^2 + 6x = x + 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 6x - x - 7 = 0$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a = 2$, $b = 5$, $c = -7$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: $-3,5; 1$.

2) Дано уравнение: $\frac{x^2 - 3x}{7} + x = 11$.

Умножим все члены уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot \frac{x^2 - 3x}{7} + 7 \cdot x = 7 \cdot 11$

$x^2 - 3x + 7x = 77$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 4x = 77$

Перенесем 77 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 77 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a=1, b=4, c=-77$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Ответ: $-11; 7$.

3) Дано уравнение: $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{2 - 3x}{4} = \frac{x^2 - 6}{6}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 6 равно 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{2x^2 + x}{3} - 12 \cdot \frac{2 - 3x}{4} = 12 \cdot \frac{x^2 - 6}{6}$

$4(2x^2 + x) - 3(2 - 3x) = 2(x^2 - 6)$

Раскроем скобки:

$8x^2 + 4x - 6 + 9x = 2x^2 - 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x^2 + 13x - 6 = 2x^2 - 12$

Перенесем все члены в левую часть:

$8x^2 - 2x^2 + 13x - 6 + 12 = 0$

$6x^2 + 13x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Здесь $a=6, b=13, c=6$.

Найдем дискриминант:

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 + 5}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-13 - 5}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5; -\frac{2}{3}$.

4) Дано уравнение: $\frac{x^2 + x}{4} - \frac{3 - 7x}{20} = 0,3$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,3 = \frac{3}{10}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{x^2 + x}{4} - \frac{3 - 7x}{20} = \frac{3}{10}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 4, 20 и 10 равно 20. Умножим обе части уравнения на 20:

$20 \cdot \frac{x^2 + x}{4} - 20 \cdot \frac{3 - 7x}{20} = 20 \cdot \frac{3}{10}$

$5(x^2 + x) - (3 - 7x) = 2 \cdot 3$

Раскроем скобки:

$5x^2 + 5x - 3 + 7x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x^2 + 12x - 3 = 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$5x^2 + 12x - 3 - 6 = 0$

$5x^2 + 12x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Здесь $a=5, b=12, c=-9$.

Найдем дискриминант:

$D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 144 + 180 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{324}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + 18}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{324}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - 18}{10} = \frac{-30}{10} = -3$

Ответ: $-3; 0,6$.

509. Найти все значения a, при которых уравнение $ax^2 + 3x + 2 = 0$,

где $a \ne 0$:

1) имеет два различных корня;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень.

Данное уравнение $ax^2 + 3x + 2 = 0$ является квадратным, поскольку по условию задачи параметр $a \ne 0$. Количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$.

Формула дискриминанта для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ имеет вид $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=a$, $B=3$, $C=2$.

Вычислим дискриминант для данного уравнения:

$D = 3^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 9 - 8a$.

Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант строго положителен, то есть $D > 0$.

Составим и решим неравенство:

$9 - 8a > 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-8a > -9$

Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный:

$a < \frac{9}{8}$

Также необходимо учесть исходное условие, что $a \ne 0$. Следовательно, искомые значения $a$ принадлежат объединению двух интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{9}{8})$.

2) не имеет корней;

Уравнение не имеет действительных корней, когда дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$.

Составим и решим неравенство:

$9 - 8a < 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$-8a < -9$

Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный:

$a > \frac{9}{8}$

Ответ: $a > \frac{9}{8}$.

3) имеет один корень.

Уравнение имеет один корень (или два равных корня), когда дискриминант равен нулю, то есть $D = 0$.

Составим и решим уравнение:

$9 - 8a = 0$

Перенесем 8a в правую часть:

$9 = 8a$

Найдем $a$:

$a = \frac{9}{8}$

Ответ: $a = \frac{9}{8}$.