Страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какое квадратное уравнение называют приведённым?

Какое квадратное уравнение называют приведённым?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Приведённым квадратным уравнением называют такое квадратное уравнение, у которого старший коэффициент $a$ равен 1. Общий вид приведённого квадратного уравнения: $x^2 + px + q = 0$, где $p$ и $q$ — второй коэффициент и свободный член соответственно.

Любое квадратное уравнение, в котором $a \neq 1$ и $a \neq 0$, можно сделать приведённым. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на старший коэффициент $a$: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Полученное уравнение будет равносильно исходному, то есть будет иметь те же корни. Приведение уравнения к такому виду упрощает его решение, в частности, с помощью теоремы Виета.

Например, уравнение $2x^2 + 8x - 10 = 0$ не является приведённым. Чтобы привести его, разделим все его члены на 2: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, равносильное исходному.

Ответ: Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент) равен единице. Его общий вид: $x^2 + px + q = 0$.

2. Преобразовать уравнение $3x^2 - 6x + 7 = 0$ к виду приведённого квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x^2$ (старший коэффициент) равен единице.

Исходное уравнение: $3x^2 - 6x + 7 = 0$.

В данном уравнении старший коэффициент (множитель при $x^2$) равен 3. Чтобы привести уравнение к приведённому виду, необходимо разделить обе его части на этот коэффициент.

Разделим каждый член уравнения на 3:
$\frac{3x^2}{3} - \frac{6x}{3} + \frac{7}{3} = \frac{0}{3}$

После упрощения получим:
$x^2 - 2x + \frac{7}{3} = 0$

Это и есть искомое приведённое квадратное уравнение.

Ответ: $x^2 - 2x + \frac{7}{3} = 0$

3. Привести формулу корней квадратного уравнения вида

$x^2 + px + q = 0$.

Квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ называется приведенным квадратным уравнением, так как коэффициент при старшем члене ($x^2$) равен единице. Формулу для его корней можно вывести из общей формулы корней для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет вид:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Для приведенного уравнения $x^2 + px + q = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=p$, $c=q$. Подставим эти значения в общую формулу:$x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

После упрощения получаем первую формулу для корней приведенного квадратного уравнения:$x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

Выражение, стоящее под знаком корня, $D = p^2 - 4q$, называется дискриминантом. В зависимости от знака дискриминанта уравнение имеет:
- два различных действительных корня, если $D > 0$;
- один действительный корень (или два совпавших), если $D = 0$;
- не имеет действительных корней (имеет два комплексных сопряженных корня), если $D < 0$.

Существует также другая, часто более удобная для вычислений, форма записи этой формулы. Её можно получить, выделив полный квадрат в левой части уравнения:
$x^2 + px + q = 0$
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q = 0$
$(x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
Выражая $x$, приходим ко второй форме формулы:
$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
Эта формула особенно удобна, когда коэффициент $p$ является чётным числом. Обе приведенные формулы эквивалентны.

Ответ: Формула корней для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ может быть записана в двух эквивалентных видах:
1. $x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
2. $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

4. Сформулировать теорему Виета.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Наиболее известна её формулировка для квадратных уравнений, но она обобщается и на многочлены любой степени.

Для квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения (действительные или комплексные), то для них справедливы следующие соотношения, называемые формулами Виета:

• Сумма корней равна отношению коэффициента при $x$ к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
  $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту:
  $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для приведённого квадратного уравнения

Частным случаем является приведённое квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен единице ($a=1$). Уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. Для него формулы Виета выглядят проще:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
  $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней равно свободному члену:
  $x_1 \cdot x_2 = q$

Теорема, обратная теореме Виета:

Если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются соотношения $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Эта теорема позволяет по заданным корням составлять квадратное уравнение, а также подбирать корни в простых случаях.

Для многочлена n-й степени

Теорема Виета обобщается для многочлена $P(x)$ степени $n$ вида:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где $a_n \neq 0$.

Если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни этого многочлена (с учётом их кратности), то справедливы следующие формулы Виета:

• $\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
• ...
• $x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

В общем виде, сумма всех возможных произведений из $k$ корней связана с коэффициентом $a_{n-k}$:

$\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

где $k = 1, 2, \dots, n$. Левые части этих равенств являются элементарными симметрическими многочленами от корней $x_1, \dots, x_n$.

Ответ: Теорема Виета утверждает, что для многочлена с коэффициентами из некоторого поля (например, поля действительных или комплексных чисел) существует связь между его корнями и коэффициентами. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Для многочлена $n$-й степени $a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ с корнями $x_1, \dots, x_n$ элементарные симметрические многочлены от корней выражаются через отношения коэффициентов многочлена по формулам $\sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$ для $k=1, \dots, n$.

5. Сформулировать теорему Виета для случая $x_1 = x_2$.

Теорема Виета для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) с корнями $x_1$ и $x_2$ устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Случай, когда $x_1 = x_2$, означает, что уравнение имеет единственный корень (его также называют корнем кратности 2). Обозначим этот корень через $x_0$. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения равен нулю: $D = b^2 - 4ac = 0$.

Для того чтобы сформулировать теорему Виета для этого частного случая, подставим $x_1 = x_0$ и $x_2 = x_0$ в стандартные формулы Виета:

1. Для суммы корней: $x_0 + x_0 = -\frac{b}{a}$, что упрощается до $2x_0 = -\frac{b}{a}$.

2. Для произведения корней: $x_0 \cdot x_0 = \frac{c}{a}$, что упрощается до $x_0^2 = \frac{c}{a}$.

Эти два полученных равенства и являются искомой формулировкой теоремы Виета для случая совпадающих корней.

Ответ:

Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которое имеет один корень $x_0$ кратности 2 (то есть $x_1 = x_2 = x_0$), теорема Виета формулируется следующим образом: удвоенное значение этого корня равно отношению второго коэффициента ($b$) к первому ($a$), взятому с противоположным знаком, а квадрат корня равен отношению свободного члена ($c$) к первому коэффициенту.

Математически это выражается системой уравнений:

$2x_0 = -\frac{b}{a}$

$x_0^2 = \frac{c}{a}$

6. Сформулировать теорему, обратную теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета, устанавливает условия, при которых два заданных числа являются корнями некоторого квадратного уравнения. Её основной смысл заключается в том, что если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются соотношения, аналогичные формулам Виета, то эти числа и будут корнями соответствующего квадратного уравнения.

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а их произведение равно $q$, то есть выполняются равенства:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Формулировка для полного квадратного уравнения

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-\frac{b}{a}$, а их произведение равно $\frac{c}{a}$, то есть выполняются равенства:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

то эти числа являются корнями полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \ne 0$).

Доказательство теоремы (для приведённого случая)

Нам нужно доказать, что если $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Подставим в уравнение $x^2 + px + q = 0$ вместо коэффициентов $p$ и $q$ их выражения через $x_1$ и $x_2$. Из условий теоремы имеем $p = -(x_1 + x_2)$ и $q = x_1 x_2$.

Получаем уравнение:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$

Теперь проверим, являются ли числа $x_1$ и $x_2$ корнями этого уравнения. Для этого подставим их поочерёдно вместо $x$.

1. Проверка для $x = x_1$:

$x_1^2 - (x_1 + x_2)x_1 + x_1 x_2 = x_1^2 - x_1^2 - x_2 x_1 + x_1 x_2 = 0$

Получено тождество $0 = 0$, значит, $x_1$ является корнем уравнения.

2. Проверка для $x = x_2$:

$x_2^2 - (x_1 + x_2)x_2 + x_1 x_2 = x_2^2 - x_1 x_2 - x_2^2 + x_1 x_2 = 0$

Получено тождество $0 = 0$, значит, $x_2$ также является корнем уравнения.

Доказательство завершено.

Практическое применение теоремы

Теорема, обратная теореме Виета, широко используется для двух основных задач:

Подбор корней. Особенно удобно для приведённых квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Например, для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ ищутся два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Методом подбора легко находятся числа 2 и 3, которые и являются корнями.

Составление квадратного уравнения по известным корням. Например, если корни равны -1 и 4, то можно составить для них уравнение. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1 + 4 = 3$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 4 = -4$. По теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения $x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$, то есть $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Ответ: Если числа $m$ и $n$ таковы, что их сумма $m+n$ равна $-p$, а их произведение $m \cdot n$ равно $q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

7. Известно, что один из корней квадратного уравнения:

1) $x^2 + px + 10 = 0$;

2) $x^2 + px - 7 = 0$ — отрицателен.

Определить знак второго корня этого уравнения.

1) $x^2 + px + 10 = 0$

Для определения знака второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В данном уравнении $x^2 + px + 10 = 0$ свободный член $c = 10$. Следовательно, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно:
$x_1 \cdot x_2 = 10$

По условию, один из корней отрицателен. Обозначим его как $x_1$, то есть $x_1 < 0$. Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 10$ является положительным числом, то оба корня должны иметь одинаковый знак. Так как $x_1$ — отрицательное число, то и второй корень $x_2$ также должен быть отрицательным, чтобы их произведение было положительным.
Математически, если $x_1 < 0$ и $x_1 \cdot x_2 > 0$, то $x_2$ должен быть меньше нуля.

Ответ: второй корень отрицателен.

2) $x^2 + px - 7 = 0$

Аналогично первому пункту, применим теорему Виета. Для уравнения $x^2 + px - 7 = 0$ свободный член $c = -7$. Произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно:
$x_1 \cdot x_2 = -7$

По условию, один из корней отрицателен. Обозначим его как $x_1$, то есть $x_1 < 0$. Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -7$ является отрицательным числом, то корни должны иметь разные знаки. Так как $x_1$ — отрицательное число, то второй корень $x_2$ должен быть положительным, чтобы их произведение было отрицательным.
Математически, если $x_1 < 0$ и $x_1 \cdot x_2 < 0$, то $x_2$ должен быть больше нуля.

Ответ: второй корень положителен.

8. Каким методом разложен на множители числитель дроби в задаче 6?

Поскольку содержание задачи 6 неизвестно, невозможно дать однозначный ответ. Однако числитель дроби, который, вероятно, является многочленом, мог быть разложен на множители одним из следующих стандартных методов. Вам необходимо посмотреть на решение задачи 6 и определить, какой из описанных ниже подходов был применен.

Метод вынесения общего множителя за скобки

Этот метод применяется, когда все члены многочлена имеют общий множитель (число, переменная или их произведение). Этот общий множитель "выносится" за скобки, а в скобках остается результат деления каждого члена многочлена на этот множитель.
Пример: В многочлене $12x^3 - 8x^2$ общим множителем является $4x^2$.
$12x^3 - 8x^2 = 4x^2 \cdot 3x - 4x^2 \cdot 2 = 4x^2(3x - 2)$.
Если в задаче 6 было выполнено подобное действие, то использовался этот метод.
Ответ: метод вынесения общего множителя за скобки.

Метод группировки

Этот метод обычно используется для многочленов, состоящих из четырех и более членов. Слагаемые объединяются в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки свой общий множитель. После этого должен появиться новый общий множитель (обычно это целая скобка), который также выносится за скобки.
Пример: Разложим на множители многочлен $xy - 6 + 3x - 2y$.
Сгруппируем слагаемые: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$.
Теперь общим множителем является выражение в скобках $(y + 3)$: $(y + 3)(x - 2)$.
Если в задаче 6 применялась группировка слагаемых, то использовался этот метод.
Ответ: метод группировки.

Использование формул сокращенного умножения

Если числитель представляет собой выражение, которое соответствует одной из формул сокращенного умножения, его можно разложить на множители, применив соответствующую формулу "в обратном порядке".
Основные формулы:
Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Пример: $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)$.
Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Пример: $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2$.
Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Пример: $4y^2 - 12y + 9 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2 = (2y-3)^2$.
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Пример: $8 - c^3 = 2^3 - c^3 = (2-c)(4+2c+c^2)$.
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пример: $z^3 + 27 = z^3 + 3^3 = (z+3)(z^2-3z+9)$.
Если в задаче 6 числитель был преобразован с помощью одной из этих формул, то это и был использованный метод.
Ответ: метод использования формул сокращенного умножения.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если числитель является квадратным трехчленом вида $ax^2 + bx + c$, его можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни обычно находятся через дискриминант.
Пример: Разложим на множители $2x^2 + 5x - 3$.
Сначала найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Подставляем в формулу разложения: $2(x - 0.5)(x - (-3)) = 2(x - 0.5)(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$.
Если в задаче 6 для разложения числителя находились корни квадратного уравнения, то был применен этот метод.
Ответ: метод разложения квадратного трехчлена на множители.

9. Разложить на множители квадратный трёхчлен $ky^2 + ly + m$, если $y_1$ и $y_2$ — корни уравнения $ky^2 + ly + m = 0$.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители используется общая формула, основанная на его корнях. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то соответствующий квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ можно представить в виде произведения:

В данной задаче нам нужно разложить на множители квадратный трёхчлен $ky^2 + ly + m$.

Здесь:

• старший коэффициент (аналог $a$) равен $k$;
• переменная (аналог $x$) — это $y$.

По условию, $y_1$ и $y_2$ — это корни уравнения $ky^2 + ly + m = 0$.

Применим общую формулу разложения к нашему трёхчлену. Подставим вместо $a$ коэффициент $k$, вместо переменной $x$ — переменную $y$, а в качестве корней используем данные $y_1$ и $y_2$.

Получаем следующее разложение:

Это и есть искомое разложение на множители.

Можно проверить справедливость этого равенства. Раскроем скобки в правой части:

По теореме Виета для уравнения $ky^2 + ly + m = 0$ (или $y^2 + \frac{l}{k}y + \frac{m}{k} = 0$), сумма и произведение корней равны:

• $y_1 + y_2 = -\frac{l}{k}$
• $y_1y_2 = \frac{m}{k}$

Подставим эти выражения в раскрытое равенство:

Теперь умножим каждый член в скобках на $k$:

Мы получили исходный трёхчлен, что подтверждает правильность разложения.

Ответ: $ky^2 + ly + m = k(y - y_1)(y - y_2)$.

1. Решить уравнение:

1) $x^2 - 0,09 = 0;$

2) $x^2 + \frac{1}{3}x = 0;$

3) $x^2 + 4x + 4 = 0;$

4) $(x+2)^2 - 4 = 0.$

1) Решим уравнение $x^2 - 0,09 = 0$.

Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, перенеся свободный член в правую часть и извлекая квадратный корень.

Перенесем $-0,09$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^2 = 0,09$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{0,09}$

$x_1 = 0,3$

$x_2 = -0,3$

Ответ: $x_1 = 0,3; x_2 = -0,3$.

2) Решим уравнение $x^2 + \frac{1}{3}x = 0$.

Это также неполное квадратное уравнение, в котором отсутствует свободный член ($c=0$). Такие уравнения решаются вынесением общего множителя за скобки.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + \frac{1}{3}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$x + \frac{1}{3} = 0$

$x_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -\frac{1}{3}$.

3) Решим уравнение $x^2 + 4x + 4 = 0$.

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Вспомним формулу сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$. Проверяем средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Формула верна.

Свернем левую часть уравнения по формуле:

$(x+2)^2 = 0$

Квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю:

$x+2 = 0$

Отсюда находим корень:

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

4) Решим уравнение $(x+2)^2 - 4 = 0$.

Это уравнение можно решить несколькими способами. Один из самых простых — перенести константу в правую часть и извлечь корень.

Перенесем $-4$ в правую часть:

$(x+2)^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x+2 = \pm\sqrt{4}$

$x+2 = \pm2$

Это приводит к двум линейным уравнениям:

Первый случай:

$x+2 = 2$

$x_1 = 2 - 2 = 0$

Второй случай:

$x+2 = -2$

$x_2 = -2 - 2 = -4$

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = -4$.

2. Выполнить деление обеих частей уравнения на первый коэффициент:

1) $2x^2 - 3x + 5 = 0;$

2) $\frac{1}{3}x^2 + 2x - \frac{2}{3} = 0.$

1)

Исходное уравнение: $2x^2-3x+5=0$.

Первый коэффициент этого квадратного уравнения — это число, стоящее перед $x^2$. В данном случае он равен 2.

Для того чтобы выполнить деление обеих частей уравнения на первый коэффициент, нужно каждый член уравнения разделить на 2.

Выполним деление:

$\frac{2x^2}{2} - \frac{3x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{0}{2}$

После сокращения и упрощения каждого слагаемого получаем следующее уравнение:

$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} = 0$

Это уравнение называется приведенным квадратным уравнением, так как его первый коэффициент равен 1.

Ответ: $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} = 0$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{1}{3}x^2+2x-\frac{2}{3}=0$.

Первый коэффициент этого квадратного уравнения — это число, стоящее перед $x^2$. В данном случае он равен $\frac{1}{3}$.

Для того чтобы выполнить деление обеих частей уравнения на первый коэффициент, нужно каждый член уравнения разделить на $\frac{1}{3}$. Деление на дробь $\frac{1}{3}$ равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на 3.

Выполним умножение каждого члена уравнения на 3:

$3 \cdot (\frac{1}{3}x^2) + 3 \cdot (2x) - 3 \cdot (\frac{2}{3}) = 3 \cdot 0$

После выполнения умножения и упрощения получаем:

$1 \cdot x^2 + 6x - 2 = 0$

$x^2 + 6x - 2 = 0$

Полученное уравнение также является приведенным квадратным уравнением.

Ответ: $x^2 + 6x - 2 = 0$.