Номер 4, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 209.

Условие.

4. Сформулировать теорему Виета.

Решение 4.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями многочлена и его коэффициентами. Наиболее известна её формулировка для квадратных уравнений, но она обобщается и на многочлены любой степени.

Для квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения (действительные или комплексные), то для них справедливы следующие соотношения, называемые формулами Виета:

• Сумма корней равна отношению коэффициента при $x$ к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
  $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней равно отношению свободного члена к старшему коэффициенту:
  $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Для приведённого квадратного уравнения

Частным случаем является приведённое квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен единице ($a=1$). Уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. Для него формулы Виета выглядят проще:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
  $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней равно свободному члену:
  $x_1 \cdot x_2 = q$

Теорема, обратная теореме Виета:

Если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются соотношения $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Эта теорема позволяет по заданным корням составлять квадратное уравнение, а также подбирать корни в простых случаях.

Для многочлена n-й степени

Теорема Виета обобщается для многочлена $P(x)$ степени $n$ вида:

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$, где $a_n \neq 0$.

Если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни этого многочлена (с учётом их кратности), то справедливы следующие формулы Виета:

• $\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j = x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_{n-1} x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
• $\sum_{1 \le i < j < k \le n} x_i x_j x_k = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$
• ...
• $x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

В общем виде, сумма всех возможных произведений из $k$ корней связана с коэффициентом $a_{n-k}$:

$\sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

где $k = 1, 2, \dots, n$. Левые части этих равенств являются элементарными симметрическими многочленами от корней $x_1, \dots, x_n$.

Ответ: Теорема Виета утверждает, что для многочлена с коэффициентами из некоторого поля (например, поля действительных или комплексных чисел) существует связь между его корнями и коэффициентами. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Для многочлена $n$-й степени $a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ с корнями $x_1, \dots, x_n$ элементарные симметрические многочлены от корней выражаются через отношения коэффициентов многочлена по формулам $\sum_{1 \le i_1 < \dots < i_k \le n} x_{i_1} \dots x_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$ для $k=1, \dots, n$.