Номер 8, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 8, страница 209.

Условие.

8. Каким методом разложен на множители числитель дроби в задаче 6?

Решение 4.

Поскольку содержание задачи 6 неизвестно, невозможно дать однозначный ответ. Однако числитель дроби, который, вероятно, является многочленом, мог быть разложен на множители одним из следующих стандартных методов. Вам необходимо посмотреть на решение задачи 6 и определить, какой из описанных ниже подходов был применен.

Метод вынесения общего множителя за скобки

Этот метод применяется, когда все члены многочлена имеют общий множитель (число, переменная или их произведение). Этот общий множитель "выносится" за скобки, а в скобках остается результат деления каждого члена многочлена на этот множитель.
Пример: В многочлене $12x^3 - 8x^2$ общим множителем является $4x^2$.
$12x^3 - 8x^2 = 4x^2 \cdot 3x - 4x^2 \cdot 2 = 4x^2(3x - 2)$.
Если в задаче 6 было выполнено подобное действие, то использовался этот метод.
Ответ: метод вынесения общего множителя за скобки.

Метод группировки

Этот метод обычно используется для многочленов, состоящих из четырех и более членов. Слагаемые объединяются в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки свой общий множитель. После этого должен появиться новый общий множитель (обычно это целая скобка), который также выносится за скобки.
Пример: Разложим на множители многочлен $xy - 6 + 3x - 2y$.
Сгруппируем слагаемые: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$.
Теперь общим множителем является выражение в скобках $(y + 3)$: $(y + 3)(x - 2)$.
Если в задаче 6 применялась группировка слагаемых, то использовался этот метод.
Ответ: метод группировки.

Использование формул сокращенного умножения

Если числитель представляет собой выражение, которое соответствует одной из формул сокращенного умножения, его можно разложить на множители, применив соответствующую формулу "в обратном порядке".
Основные формулы:
Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Пример: $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)$.
Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Пример: $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2$.
Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Пример: $4y^2 - 12y + 9 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2 = (2y-3)^2$.
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Пример: $8 - c^3 = 2^3 - c^3 = (2-c)(4+2c+c^2)$.
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Пример: $z^3 + 27 = z^3 + 3^3 = (z+3)(z^2-3z+9)$.
Если в задаче 6 числитель был преобразован с помощью одной из этих формул, то это и был использованный метод.
Ответ: метод использования формул сокращенного умножения.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если числитель является квадратным трехчленом вида $ax^2 + bx + c$, его можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни обычно находятся через дискриминант.
Пример: Разложим на множители $2x^2 + 5x - 3$.
Сначала найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Подставляем в формулу разложения: $2(x - 0.5)(x - (-3)) = 2(x - 0.5)(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)$.
Если в задаче 6 для разложения числителя находились корни квадратного уравнения, то был применен этот метод.
Ответ: метод разложения квадратного трехчлена на множители.