Номер 3, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 210.

Условие.

3. Найти сумму и произведение выражений:

1) $x+\sqrt{x^2-y}$ и $x-\sqrt{x^2-y}$;

2) $-x+\sqrt{y+x^2}$ и $-x-\sqrt{y+x^2}$.

Решение 4.

1) Даны выражения: $x + \sqrt{x^2 - y}$ и $x - \sqrt{x^2 - y}$.

Найдем их сумму, сложив оба выражения:

$(x + \sqrt{x^2 - y}) + (x - \sqrt{x^2 - y}) = x + \sqrt{x^2 - y} + x - \sqrt{x^2 - y}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x + x) + (\sqrt{x^2 - y} - \sqrt{x^2 - y}) = 2x + 0 = 2x$

Найдем их произведение. Эти выражения являются сопряженными, поэтому для их умножения удобно использовать формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=\sqrt{x^2-y}$:

$(x + \sqrt{x^2 - y})(x - \sqrt{x^2 - y}) = x^2 - (\sqrt{x^2-y})^2 = x^2 - (x^2 - y) = x^2 - x^2 + y = y$

Ответ: Сумма равна $2x$, произведение равно $y$.

2) Даны выражения: $-x + \sqrt{y + x^2}$ и $-x - \sqrt{y + x^2}$.

Найдем их сумму:

$(-x + \sqrt{y + x^2}) + (-x - \sqrt{y + x^2}) = -x + \sqrt{y + x^2} - x - \sqrt{y + x^2}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-x - x) + (\sqrt{y + x^2} - \sqrt{y + x^2}) = -2x + 0 = -2x$

Найдем их произведение. Снова используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В этом случае можно представить выражения как $( \sqrt{y + x^2} - x)$ и $(- \sqrt{y + x^2} - x)$, что не подходит. Правильнее сгруппировать так: $a=-x$ и $b=\sqrt{y+x^2}$.

$((-x) + \sqrt{y + x^2})((-x) - \sqrt{y + x^2}) = (-x)^2 - (\sqrt{y+x^2})^2 = x^2 - (y + x^2) = x^2 - y - x^2 = -y$

Ответ: Сумма равна $-2x$, произведение равно $-y$.