Номер 7, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 7, страница 209.

Условие.

7. Известно, что один из корней квадратного уравнения:

1) $x^2 + px + 10 = 0$;

2) $x^2 + px - 7 = 0$ — отрицателен.

Определить знак второго корня этого уравнения.

Решение 4.

1) $x^2 + px + 10 = 0$

Для определения знака второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни, справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В данном уравнении $x^2 + px + 10 = 0$ свободный член $c = 10$. Следовательно, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно:
$x_1 \cdot x_2 = 10$

По условию, один из корней отрицателен. Обозначим его как $x_1$, то есть $x_1 < 0$. Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 10$ является положительным числом, то оба корня должны иметь одинаковый знак. Так как $x_1$ — отрицательное число, то и второй корень $x_2$ также должен быть отрицательным, чтобы их произведение было положительным.
Математически, если $x_1 < 0$ и $x_1 \cdot x_2 > 0$, то $x_2$ должен быть меньше нуля.

Ответ: второй корень отрицателен.

2) $x^2 + px - 7 = 0$

Аналогично первому пункту, применим теорему Виета. Для уравнения $x^2 + px - 7 = 0$ свободный член $c = -7$. Произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно:
$x_1 \cdot x_2 = -7$

По условию, один из корней отрицателен. Обозначим его как $x_1$, то есть $x_1 < 0$. Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -7$ является отрицательным числом, то корни должны иметь разные знаки. Так как $x_1$ — отрицательное число, то второй корень $x_2$ должен быть положительным, чтобы их произведение было отрицательным.
Математически, если $x_1 < 0$ и $x_1 \cdot x_2 < 0$, то $x_2$ должен быть больше нуля.

Ответ: второй корень положителен.