Номер 3, страница 209 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 30. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 209.

Условие.

3. Привести формулу корней квадратного уравнения вида

$x^2 + px + q = 0$.

Решение 4.

Квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ называется приведенным квадратным уравнением, так как коэффициент при старшем члене ($x^2$) равен единице. Формулу для его корней можно вывести из общей формулы корней для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет вид:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Для приведенного уравнения $x^2 + px + q = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=p$, $c=q$. Подставим эти значения в общую формулу:$x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

После упрощения получаем первую формулу для корней приведенного квадратного уравнения:$x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$

Выражение, стоящее под знаком корня, $D = p^2 - 4q$, называется дискриминантом. В зависимости от знака дискриминанта уравнение имеет:
- два различных действительных корня, если $D > 0$;
- один действительный корень (или два совпавших), если $D = 0$;
- не имеет действительных корней (имеет два комплексных сопряженных корня), если $D < 0$.

Существует также другая, часто более удобная для вычислений, форма записи этой формулы. Её можно получить, выделив полный квадрат в левой части уравнения:
$x^2 + px + q = 0$
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + (\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 + q = 0$
$(x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - q$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
Выражая $x$, приходим ко второй форме формулы:
$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$
Эта формула особенно удобна, когда коэффициент $p$ является чётным числом. Обе приведенные формулы эквивалентны.

Ответ: Формула корней для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ может быть записана в двух эквивалентных видах:
1. $x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
2. $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$